几种常见的分布及其性质

Posted 2020-12-21 acapplella

二项分布(离散型随机变量)

如果离散型随机变量 (X) 的分布律为

[P{X=k}=mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}, k=0,1, cdots, n ]

其中 (0<p<1, q+p=1,) 则称 (X) 服从二项分布，记为 (X sim B(n, p) .) 显然, (P{X=k} geqslant 0, k=0,1, cdots,) 而且

[sum_{k=0}^{n} P{X=k}=sum_{k=0}^{n} mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}=(p+q)^{n}=1 ]

因此，二项分布满足分布律的两个基本性质. 特别地，当 (n=1) 时，二项分布退化为两点分布

[P{X=k}=p^{k} q^{1-k}, k=0,1 ]

离散型随机变量的数学期望

egin{array}{c}
ext { 设随机变量 } X sim B(n, p), ext { 其分布律为 }
P|X=k|=C_{n}^{k} p^{k} q^{n-1}, quad k=0,1,2, cdots, n, 0<p<1, p+q=1,
end{array}

[egin{aligned} E(X) &=sum_{k=1}^{n} k mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}=sum_{k=1}^{n} k frac{n(n-1) cdots[n-(k-1)]}{k !} p^{k} q^{n-k} \ &=n p sum_{k=1}^{n} frac{(n-1) cdots[n-1-(k-2)]}{(k-1) !} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)} \ &=n p sum_{k^{prime}=0}^{n-1} C_{n-1}^{k^{prime}} p^{k^{prime}} q^{(n-1)-k^{prime}} quadleft(k^{prime}=k-1 ight) \=& n p(p+q)^{(n-1)}=n p \ 从而 E(X) &=n p end{aligned} ]

离散型随机变量的方差