CF703D Mishka and Interesting sum

Posted 2020-12-21 luckyblock

知识点：线段树

原题面：Codeforces

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题意简述

给定一长度为 (n) 的数列 (a)，给定 (m) 次询问。
每次询问给定区间内，出现过偶数次的权值 的异或和。
(1le n,mle 10^6)，(1le a_ile 10^9)。

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分析题意

根据异或的自反性，一个区间内所有数的异或和，为区间内出现过 奇数次 的权值的异或和。
再根据异或的自反性，一个区间的答案，即为区间出现过的权值的异或和，异或上区间内出现过 奇数次 的权值的异或和。

即有下式：

[ans (l,r) = left(igoplus_{i=l}^{r} a_i ight) oplus left(igoplus_{kin {a_{i}}} k ight) ]

显然区间内所有数的异或和可前缀和维护。
考虑如何求得区间内出现过的权值的异或和。

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维护的信息不便于删除，套路地考虑扫描线。
令线段树下标为 (r) 的叶节点维护区间 ([l,r]) 的信息。
其中 (l) 为当前扫描到的左端点。

维护 (nex_{i})，表示 (a_i) 右侧等于 (a_i) 的第一个数，若不存在则为 (n+1)。
则对于一个位置 (i)，其影响的范围为 ([i,nex_i))，他的出现令该区间权值的异或和 (oplus a_i)。

初始 (l=1) 时，按上述方法将所有位置插入线段树中，构造出初始状态。
当 (l+1) 时，删去了 (a_{l-1}) 显然仅有 ([l, nex_{l-1})) 部分受到影响，根据异或的自反性，令该区间异或和 (oplus a_{l-1}) 即可。
在 (l) 右移的同时回答询问。

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线段树支持区间异或即可。
单次 (l+1)，单次查询的复杂度均为 (O(log n))。
总复杂度 (O((n+m)log n))。

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爆零小技巧

注意修改区间的开闭情况。

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代码实现

//知识点：线段树 
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <map>
#define LL long long
const int kMaxn = 1e6 + 10;
//=============================================================
struct Query {
  int l, r, id;
} q[kMaxn];
int n, m, a[kMaxn], nex[kMaxn], sum[kMaxn], ans[kMaxn];
std::map <int, int> pos;
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == ‘-‘) f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ ‘0‘);
  return f * w;
}
void Chkmax(int &fir_, int sec_) {
  if (sec_ > fir_) fir_ = sec_;
}
void Chkmin(int &fir_, int sec_) {
  if (sec_ < fir_) fir_ = sec_;
}
bool CompareQuery(Query fir, Query sec) {
  if (fir.l != sec.l) return fir.l < sec.l;
  return fir.r < sec.r;
}
namespace Seg {
  #define ls (now_<<1)
  #define rs (now_<<1|1)
  #define mid ((L_+R_)>>1)
  int sum[kMaxn << 2], tag[kMaxn << 2];
  void Pushdown(int now_) {
    if (! tag[now_]) return ;
    sum[ls] ^= tag[now_]; tag[ls] ^= tag[now_];
    sum[rs] ^= tag[now_]; tag[rs] ^= tag[now_];
    tag[now_] = 0;
  }  
  void Modify(int now_, int L_, int R_, int l_, int r_, int val_) {
    if (l_ <= L_ && R_ <= r_) {
      sum[now_] ^= val_;
      tag[now_] ^= val_;
      return ;
    }
    Pushdown(now_);
    if (l_ <= mid) Modify(ls, L_, mid, l_, r_, val_);
    if (r_ > mid) Modify(rs, mid + 1, R_, l_, r_, val_);
  }
  int Query(int now_, int L_, int R_, int pos_) {
    if (L_ == R_) return sum[now_];
    Pushdown(now_);
    if (pos_ <= mid) return Query(ls, L_, mid, pos_);
    return Query(rs, mid + 1, R_, pos_);
  }
      
  void Debug(int now_, int L_, int R_) {
    if (L_ == R_) {
      printf("%d ", sum[now_]);
      return ;
    }
    Pushdown(now_);
    Debug(ls, L_, mid);
    Debug(rs, mid + 1, R_);
  }
  #undef ls
  #undef rs
  #undef mid
}
void Prepare() {
  n = read();
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    a[i] = read();
    sum[i] = sum[i - 1] ^ a[i];
  }
  for (int i = n; i >= 1; -- i) {
    if (pos.count(a[i])) {
      nex[i] = pos[a[i]]; 
    } else {
      nex[i] = n + 1;
    }
    pos[a[i]] = i;
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    Seg::Modify(1, 1, n, i, nex[i] - 1, a[i]);
  }
  
  m = read();
  for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
    q[i] = (Query) {read(), read(), i};
  }
  std::sort(q + 1, q + m + 1, CompareQuery);
}
//=============================================================
int main() {
  Prepare();
  int i = 1;
  for (; i <= m; ++ i) {
    if (q[i].l > 1) break;
    ans[q[i].id] = sum[q[i].r] ^ sum[q[i].l - 1] ^ Seg::Query(1, 1, n, q[i].r);
  }
  for (int l = 2; l <= n; ++ l) {
    Seg::Modify(1, 1, n, l, nex[l - 1] - 1, a[l - 1]);
    for (; i <= m; ++ i) {
      if (q[i].l > l) break;
      ans[q[i].id] = sum[q[i].r] ^ sum[q[i].l - 1] ^ Seg::Query(1, 1, n, q[i].r);
    }
  }
  for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
    printf("%d
", ans[i]);
  }
  return 0;
}