状态压缩DP 初探

Posted 2020-12-20 scl0725

状态压缩DP 初探

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1.蒙德里安的梦想

求把NM的棋盘分割成若干个12的的长方形，有多少种方案。

例如当N=2，M=4时，共有5种方案。当N=2，M=3时，共有3种方案。

如下图所示：

输入格式

输入包含多组测试用例。

每组测试用例占一行，包含两个整数N和M。

当输入用例N=0，M=0时，表示输入终止，且该用例无需处理。

输出格式

每个测试用例输出一个结果，每个结果占一行。

数据范围

1≤N,M≤111≤N,M≤11

输入样例：

1 2
1 3
1 4
2 2
2 3
2 4
2 11
4 11
0 0

输出样例：

1
0
1
2
3
5
144
51205

题解：

我们可以分析横着放方块的方案数，即为答案数。

按列分析，如果此列想要放置一个横向方块，那么i - 1列就不可以捅到第i列（即此位置无位于i - 1列和i列的横向方块），我们可以用j & k来判断此情况，其中j是枚举第i列的状态，k是枚举i - 1列的状态。

其次，为了可以让空位置可以让竖向方块刚好填满，那么第i列就不可以有连续奇数个0，用j | k来判断此情况。

最后做一遍dp即可。

状态表示：f[i] [j] 表示第i列状态是j的方案数，j则表示的是i - 1列捅到第i列的状态（一个二进制数）。

状态属性：max，最大方案数

AC代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 12, M = 1 << N;

long long f[N][M];
int n, m;
bool st[M];

int main()
{
    while (cin >> n >> m, n || m)
    {
        //预处理st数组
        for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ )
        {
            st[i] = true;
            
            int cnt = 0;
            for (int j = 0; j < n; j ++ )
                if(i >> j & 1)
                {
                    if(cnt & 1) st[i] = false;
                    cnt = 0;
                }
                else cnt ++ ;
            
            if(cnt & 1) st[i] = false;
        }
        
        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0][0] = 1;
        
        for (int i = 1; i <= m; i ++ )
            for (int j = 0; j < 1 << n; j ++ )
                for (int k = 0; k < 1 << n; k ++ )
                    if((j & k) == 0 && st[j | k])
                        f[i][j] += f[i - 1][k];
        
        cout << f[m][0] << endl;
    }
    
    return 0;
}