有趣计数题选做

Posted 2020-12-20 alansp

1.[HEOI2013]SAO

题意实际上是让你求拓扑序数。

引用 ( ext{shaowice1984}) 学长的一句话：“这题要是想拓扑图就凉了。”

我们可以先忽略边的限制直接建树，然后跑树形dp。

子树内的点对顺序到lca处统计贡献。

我们设 (f[i][j]) 表示 (i) 这个点处于拓扑序第 (j) 位的方案数。

那么对于 (u) 的子树 (v)，如果 (v) 能放到 (u) 的前面，那么对 (f[u][i+j]) 的贡献有：

[f[u][i] imes inom{i-1}{j+i-1} imes inom{siz_u -i}{siz_u+siz_v-j-i} imes sum_{k}f[v][k] ]

其中 (vin son_u)，我们枚举了 (v) 的子树有 (j) 个在 (u) 的前面。

那么更新后 (u) 前面的点有 (i+j-1) 个，我们选出了 (i-1) 属于 (u)，那么这 (i-1) 个点排在 (u) 前面的方案是(f[u][i])。

同理 (u) 的后面有 (siz_u -i) 个数。

那么我们可以通过限定 (k) 的范围来控制先后顺序，把 (u) 放在前面等价于 (kin[j+1,siz_v])，我选的 (k) 在序列中一定大于 (i+j-i) 的位置。

同理，(u) 在后面就一定保证在小于等于 (i+j-i) 的位置。

发现最后一项可以前缀（后缀）和优化，复杂度 (O(n^2)) 。