P3953 逛公园

Posted 2020-12-20 zzctommy

P3953 逛公园

欢迎hack！毕竟这题被hack的人太多了，我也有可能出错，希望大家带着批判的眼光看这篇题解。

看完题就应该发现那个 (k) 特别小，显然可以利用

关于 (-1) ，其实不是很好处理。非常显然我们需要判断的是“是否在一条满足题意（可以从 (1) 到 (n)）的路径上存在 (0) 环”，很多错解都是因为对于“满足题意的路径”限制方法出错然后挂掉的。

考虑对于每个节点开一个 (dp[i][j]) 表示：从这个点开始走，比最短路多走了 (j) 的长度的方案数

可以先一遍 (Dijsktra) 跑出从 (1) 到每个点的最短路 (dis[i])

考虑从 (1) 开始记搜出 (dp[1][i]) 就是答案

其实原本是可以直接dp的，但是记搜过程可以顺便判 (0) 环，不然还得再写一个 (dfs) 判环。更重要的是，我们要找的是“可以到达的点上是否存在 (0) 环”，那么在记搜过程中的体现就是访问到了这个点，省去一些判断，也可以少访问一些节点。

• 判 (0) 环：对于这个状态是否在栈中搜索开个 bool 记录一下，如果访问到状态 (i,j) 并且 (ins[i][j]) 为真的情况那么必然存在 (0) 环，因为它绕了一圈但是比最短路多的长度还是 (j) 。碰到 (0) 环直接退出即可

• (dp):考虑从 (u) 走到 (v) 会多产生多少贡献。原本走到 (v) 是 (dis[v]) 的长度，现在是 (dis[u]+w[i]) ，多走了 (dis[u]+w[i]-dis[v]) ，那么还可以多走 (lft-(dis[u]+w[i]-dis[v])) ，即 (dp[u][lft] o dp[v][lft-(dis[u]+w[i]-dis[v])])

我就是这么写的，然而在洛谷被 hack 了，CCF的数据挺水的，就水过去了 所以这是我在考场上能AC的意思？

hack数据长这样：

Input
1
4 5 0 10000
1 2 10
2 1 10
2 3 0
3 2 0
1 4 100
Output
1

像我那样写会被hack的原因在于我对于能到达的限制出现了问题，数据构造了一个死胡同 (1 o2 o3) ，并且 (2 o 3 o 2) 是 (0) 环，但是并不能到 (n) 。

接下去考虑解决这个漏洞。

发现只要在反图上跑就能避免这个问题了，即从 (n) 跑到 (1) ，因为我们最短路是从 (1) 开始记录的，如果在 (n) 到 (1) 的路径上出了个“岔子”或“死胡同”，最短路一定不会往那里延伸，那么就能完美地解决这个问题了！

注意 dp 方程也要相应改变。

话说我这代码怎么跑这么快qwq，最优解第三，没卡过常呢，正常写的代码。

upd:卡完常变慢了/kk

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch==‘-‘)f=0;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
	return f?x:-x;
}
#define N 100005
#define M 200005
#define K 55
int n,m,k,mod,ans,flg,dis[N],dp[N][K];
bool vis[N],ins[N][K];
void fmod(int&x){x-=mod,x+=x>>31&mod;}
struct edge{
	int nxt,to,val;
}e[M],E[M];
int head[N],num_edge,Head[N],Num_edge;
void addedge(int fr,int to,int val){
	++num_edge;
	e[num_edge].nxt=head[fr];
	e[num_edge].val=val;
	e[num_edge].to=to;
	head[fr]=num_edge;
}
void Addedge(int fr,int to,int val){
	++Num_edge;
	E[Num_edge].nxt=Head[fr];
	E[Num_edge].val=val;
	E[Num_edge].to=to;
	Head[fr]=Num_edge;
}
void clear(){
	ans=0;
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	memset(head,0,sizeof(head));
	memset(Head,0,sizeof(Head));
	num_edge=Num_edge=0,flg=1;
}
struct Dij{
	int u,dis;
	Dij(int u_,int d_){u=u_,dis=d_;}
	inline bool operator < (const Dij&t)const{return dis>t.dis;}
};
priority_queue<Dij>q;
void dij(){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	q.push(Dij(1,dis[1]=0));
	while(!q.empty()){
		Dij now=q.top();q.pop();
		int u=now.u;
		if(vis[u])continue;
		vis[u]=1;
		for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
			int v=e[i].to;
			if(dis[v]>dis[u]+e[i].val){
				dis[v]=dis[u]+e[i].val;
				if(!vis[v])q.push(Dij(v,dis[v]));
			}
		}
	}
}
int dfs(int u,int lft){
	if(!flg)return 0;
	if(ins[u][lft])return flg=0;
	if(~dp[u][lft])return dp[u][lft];
	int res=0;
	ins[u][lft]=1;
	for(int i=Head[u];i&&flg;i=E[i].nxt){
		int v=E[i].to;
		int w=lft-(E[i].val-(dis[u]-dis[v]));
		if(w>=0)fmod(res+=dfs(v,w));
	}
	ins[u][lft]=0;
	if(u==1&&!lft)++res;
	return dp[u][lft]=res;
}
void Main(){
	clear();
	n=read(),m=read(),k=read(),mod=read();
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int x=read(),y=read(),z=read();
		addedge(x,y,z),Addedge(y,x,z);
	}
	dij();
	for(int i=0;flg&&i<=k;++i)fmod(ans+=dfs(n,i));
	flg?printf("%d
",ans):puts("-1");
}
signed main(){for(int T=read();T;--T)Main();}