实对称矩阵的特征值一定为实数证明

Posted 2020-12-20 qizhou

　　虽然不是什么有应用价值的定理，但是每次看到实对称矩阵时总会有疑惑，现在记录下来。

证明

　　设有实对称矩阵$A$，它的特征值与对应的特征向量分别为$lambda,x$，另外记$overline{A},overline{lambda},overline{x}$分别为它们对应的共轭复数（矩阵和向量是对每个元素共轭）。

　　首先有：

egin{equation}overline{x}^TAx = overline{x}^Toverline{A}x = (overline{A}^Toverline{x})^Tx = (overline{A}overline{x})^Tx = overline{Ax}^Tx=overline{lambda x}^Tx=overline{lambda}overline{x}^Txend{equation}

　　又有：

egin{equation}overline{x}^TAx = overline{x}^Tlambda x = lambda overline{x}^T xend{equation}

　　因为$(1),(2)$式相等，所以有：

$ (overline{lambda} -  lambda) overline{x}^Tx = 0$

　　因为特征向量$x e 0$，所以$ overline{x}^Tx>0$，因此有$ overline{lambda} = lambda$。特征值为实数得证。