矩阵论练习15（度量矩阵与Schmidt正交化）

Posted 2020-12-20 forcekeng

度量矩阵

设 (e_1,cdots,e_n) 是 (V) 的基，(alpha,etain V)的坐标是

[X=[x_1,cdots,x_n]^T,Y=[y_1,cdots,y_n]^T ]

则

[<alpha,eta>=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n x_ioverline{y}_j<e_i,e_j> =X^TAoverline{Y} ]

其中 (A=(<e_i,e_j>)_{n imes n})，称 (A) 是 (V) 在基 (e_1,cdots,e_n) 下的度量矩阵。

设 (e_1,cdots,e_n) 是 (V) 的标准正交基，则 (A=I) 是单位矩阵，此时 (<alpha,eta>_V = X^T overline{Y}=Y^H X = <X,Y>_{C^n}).
也就是说，在标准正交基下，空间 (V) 中的两个向量的内积等于它们坐标的内积。

题目

假设 (V) 在基 (e_1,e_2) 下的度量矩阵是 (A=[1,2;2,5]), 求 (V) 的一组标准正交基。

解答

1. 正交化：
   度量矩阵包含了各个基的内积信息。令 (eta_1=e_1)，则
   (eta_2 = e_2 -frac{<e_2,eta_1>}{<eta_1,eta_1>}eta_1 =e_2 - 2e_1)

2. 标准化：
   (<eta_1,eta_1>=<e_1,e_1>=1)。(eta_2) 的在基 (e_1,e_2) 下的坐标为 ([-2,1]^T)，则 (<eta_2,eta_2>=[-2,1]A[-2,1]^T=1)，
   因此
   (gamma_1 = frac{eta_1}{| eta_1 |} = eta_1=e_1)
   (gamma_2 = frac{eta_2}{| eta_2 |} = eta_2=e_2-2e_1)
   即是 (V) 的一组标准正交基。