Dijkstra和堆优化

Posted 2020-12-20 brotherhood

Dijkstra算法

由于我之前一直记的迪杰斯特拉的翻译导致我把dijkstra写成了dijstra……所以下文#define dijstra dijkstra

Dijskra是用来在有向图或者无向图中寻找任意两个点的最小距离的算法。它相较于spfa不会死掉（spfa死了），但是无法处理带负环的图和求最长路（除非加上一些奇怪的东西，我们这里是新手村不予讨论我不会）

Dijskra的核心思想是先把所有边的边权进行从小到大的排序，再建一个记录起点到各个点的距离的dis数组并初始化其为一个最大值(inf=!0U>>1,或者0x3f3f3f3f什么的，但不要自己觉得很大但是小了。注意，要把到起点的距离dis[start]设为0)，每次讨论一个点i遍历所有和它相连的边到的点j，如果起点到i的距离加上边权小于顶点到j的距离，那么更新j的距离。然后再选一个最近的点标记一下vis，再次进行遍历。处理完之后得到dis[end]就是起点到终点的距离了。

至于dijskra的推导和证明，我不会我们在这里不予讨论。还是不懂的话可以搜一搜其他入门帖子（有图的那种）

存图的话，可以用邻接矩阵和前向星。

Dijskra的堆优化

我们发现，每次遍历一个点就需要把所有的边都扫一遍然后进行松弛。这个导致朴素dijskra非常慢。所以我们可以想个法子优化一下。就是——使用小根堆。我们可以发扬C++的伟大之处，用priority_queue和pair进行优化。

讲解一下pair关键字。它在C++的<utility>（发音[ju?t?l?t?]）头文件中。简单来说就是一个只有两个元素的结构体。加入我们定义了一个pair <int,int>p;的pair，那么我们可以用p.first和p.second来分别调用他的两个元素。pair有什么好处呢？当我们使用sort的时候，它会先根据第一关键字进行排列，当第一关键词相同时再根据第二关键字排列。所以我们用pair存边的时候，用first存边权，用second存编号即可。

make_pair(a,b)关键字可以把a和b弄成一个pair。这在我们要把一个pair放进优先队列时有用。

我们再来看看优先队列的部分。裸的优先队列是大根堆（从大到小），我们需要把它重新定义一下变成小根堆，即：

priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;

greater操作符就是重载运算符()变成了(>)。less和它相反。它们在头文件<functional>里。记得引用。

所以我们就可以轻松得到优化后的代码~

void dijkstra()
{
    priority_queue <pairr,vector<pairr >,greater<pairr > > q;
    q.push(make_pair(0,start));
    memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));
    dis[start]=0;
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.top().second;q.pop();
        if(!vis[u])
        {
            vis[u]=1;
            for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
            {
                int to=e[i].to;
                if(dis[u]+e[i].dis<dis[to])
                {
                    dis[to]=dis[u]+e[i].dis;
                    q.push(make_pair(dis[to],to));
                }
            }
        }
    }
}