偷东西的学问-背包问题

Posted 2020-12-20 gongyanzh

目录

• 背包问题（0-1背包问题）
• 可以偷商品的一部分吗（完全背包问题）
• 物以稀为贵（多重背包问题）

背包问题（0-1背包问题）

假设你是个小偷，背着一个可装 4 磅东西的背包。 你可盗窃的商品有如下3件（摘自算法图解）：

作为一名优秀的小偷，为了让盗窃的商品价值最高，该选择哪些商品呢？

很明显，小偷需要在满足背包容量要求下，选择价值总和最大的。

使用动态规划

先解决小背包（子背包）问题，再逐步解决原来的问题

• 状态转移

  cell[i][j]表示前i种物品恰放入一个容量为j的背包能获得的最大价值

  

[cell[i][j] = max(cell[i-1][j],v[i]*k_i+cell[i-1][j-k_i*w[i]]),k in {0,1} ]

coding

def knapsack(goods,volume):
    dp = [[0]*(volume+1) for _ in range(len(goods))]
    
    for j in range(1,volume+1):#初始化
        if goods[0][1] <= j:
            dp[0][j] = goods[0][0]

    for i in range(1,len(goods)):
        for j in range(1,volume+1):
            if goods[i][1] <= j:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],goods[i][0]+dp[i-1][j-goods[i][1]])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    return dp

goods = [[1500,1],[3000,4],[2000,3]]#价值 重量
volume = 4 
knapsack(goods,volume)

结果

将吉他和笔记本电脑装入背包时价值最高，为3500美元。

在刚才的盗窃活动中，每次可以偷的东西都是一个完整的个体，对每个物品要么选择偷，要么不偷，所以称为 0-1背包问题

可以偷商品的一部分吗（完全背包问题）

假如你在杂货店行窃，可偷成袋的扁豆和大米，但如果整袋装不下，可打开包装，再将背包 倒满。在这种情况下，不再是要么偷要么不偷，而是可偷商品的一部分。如何使用动态规划来处 理这种情形呢？

假设有如下商品（每种商品无限多）可供选择。

略作思索，小偷发现在决定偷哪些东西时， 动态规划 是一个不错的方法，因为：

从每种物品i 偷/不偷 ((k_i in {0,1}))变为 偷多少单位 ((k_iin {0,1,2,...,W/w_i}))，背包总容量 W，第i类物品占 (w_i) 的空间。

• 状态转移

  

  [cell[i][j] = max(cell[i-1][j],v[i]*k_i+cell[i-1][j-k_i*w[i]])\k_iin {0,1,2,...,W/w_i} ]

coding

def knapsack(w,v,volume):
    dp = [[0]*(volume+1) for _ in range(len(w))]
    
    for j in range(1,volume+1):
        for k in range(j//w[0]+1):
            dp[0][j] = max(dp[0][j],v[0]*k)

    for i in range(1,len(w)):
        for j in range(1,volume+1):
            temp = 0
            for k in range(j//w[i]+1):
                temp = max(temp,v[i]*k+dp[i-1][j-k*w[i]])
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j],temp)
    return dp

weight = [2,1,3] #重量
value = [5,2,4]#价值 
volume = 7

knapsack(weight,value,volume)

结果

物以稀为贵（多重背包问题）

由于燕麦的营养价值比较高，所以只有一点点，可偷的商品受到了限制

每种商品只有部分可供选择 (k_i<M_i)，但问题还是

偷多少单位 ((k_iin {0,1,2,...,W/w_i}))，背包总容量 W，第i类物品占 (w_i) 的空间。

多重背包问题 相比 完全背包问题多了限制条件，即可偷物品的数量。

同样使用动态规划

• 状态转移
  [cell[i][j] = max(cell[i-1][j],v[i]*k_i+cell[i-1][j-k_i*w[i]])\k_iin {0,1,2,...,W/w_i},k_i leq M_i ]

coding

def knapsack(w,v,M,volume):
    dp = [[0]*(volume+1) for _ in range(len(w))]
    
    for j in range(1,volume+1):
        for k in range(min(j//w[0],M[0])+1):#增加限制条件
            dp[0][j] = max(dp[0][j],v[0]*k)

    for i in range(1,len(w)):
        for j in range(1,volume+1):
            temp = 0
            for k in range(min(j//w[i],M[i])+1):#增加限制条件
                temp = max(temp,v[i]*k+dp[i-1][j-k*w[i]])
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j],temp)
    return dp

weight = [2,1,3] #重量
value = [5,2,4] #价值 
maxk = [1,3,3] #数量
volume = 7

knapsack(weight,value,maxk,volume)

结果