常用计数技巧和方法(Part 1)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了常用计数技巧和方法(Part 1)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

常用计数技巧和方法(理论篇)

文章较长且大量使用 (LaTeX) 导致渲染较慢,因此分为两个部分

由于计数方面的知识非常的繁细,容易忘记,使用时不够熟练,这里总结一下

以下内容有所借鉴百度百科和大佬的 blog %%%

【瞎总结】组合模型及其组合意义的阐释

范德蒙德卷积以及一些二项式系数的推导

排列组合定义

排列:指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序

组合:组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序

[A_n^m = frac{fac[n]}{fac[n-m]}C_n^m={n choose m} = frac{fac[n]}{fac[m]cdot fac[n-m]} = frac{A_n^m}{fac[m]} ]

加法原理

第一类办法中有 (m_1) 种不同的方法,在第二类办法中有 (m_2) 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 (m_n) 种不同的方法,那么完成这件事共有 (N=m_1+m_2+m_3+…+m_n) 种不同方法

乘法原理

做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 (m_1) 种不同的方法,做第二步有 (m_2) 种不同的方法,……,做第n 步有 (m_n) 种不同的方法,那么完成这件事共有 (N=m_1×m_2×m_3×…×m_n) 种不同的方法。

二项式定理

[large{(a+b)^n=sum_{i=0}^n{nchoose i}a^ib^{n-i}}\\]

很好理解,每个 ((a+b)) 中可以选出 a 或 b,最终有 k 个 a 的方案数就是 (n choose k)

其他变形,在部分题可以应用

[large{(a-b)^n=sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}{nchoose i}a^ib^{n-i}}\\large{frac{(a+b)^n+(a-b)^n}{2}=sum_{i为偶数}^n{n choose i}a_{n-i}b^i} ]

杨辉三角

技术图片

容易发现其与二项式系数有着对应关系

其他性质

  • ({n choose i} = {n-1 choose i}{n-1 choose i-1}) 选不选 n 号物品
  • ({n choose i} = {n choose n-i})
  • (2^n=sum_{i=0}^n {nchoose i})
  • (sum_{i为奇数}{nchoose i}=sum_{i为偶数}{nchoose i}=2^{n-1})

组合数的奇偶(了解)

对组合数 (n choose k):将 n,k 分别化为二进制,若某二进制位对应的 n 为 0,而 k 为 1,则 (n choose k) 为偶数;否则为奇数。

快速计算组合数的方法

  • 预处理逆元,定义法计算 (Theta (N+T))
  • 将杨辉三角打表,(Theta(N^2+T))
  • 对于模数较小的情况可以使用 Lucas 定理和 exLucas 解决
  • 暴力处理上下的质因数消元

范德蒙德卷积

(sum_{i=0}^k{n choose i}{m choose k-i}= {n + mchoose k})

理解:从两堆共选 k 可表示为枚举第一堆选多少的方案数 * 第二堆的方案数

(sum_{i=1}^n{n choose i}{n choose i-1} = { 2nchoose n-1})

可以从第一个式子推来,将 ({n choose i}) 化为 (n choose n-i) 即可

(sum_{i=0}^n{nchoose i}^2={2n choose n})

(sum_{i=0}^m{n choose i}{m choose i}={n+m choose m})

隔板法(重点)

问题形式一:将 n 个相同苹果放入 m 个不同的箱子里的方案数(可以限制是否为空)

问题形式二:解方程 (x_1+x_2+ cdots+x_m = n) ,正整数解或自然数方案数

将 n 个苹果排成一列,发现有 n - 1 的空隙,在其中 m 个空隙中插上隔板,两个隔板中的苹果扔到同一个箱子里即可,如果可以为零就加上 m 个虚拟苹果

  • 解方程变形:(x_1+x_2+ cdots+x_m le n) 再加入一个变量即可
  • 个数限制:容斥枚举那些超出限制即可

可重组合

问题:有 m 种球每种球都是足够多的,有 n 个相同盒子,现在要把盒子塞满(一种球可以用多次),多少种方案?

[H(n,m)={{m+n-1}choose n} ]

理解一:隔板法

枚举每种球放入几个盒子,隔板法解决即可

理解二:构造

将 n 个盒子的球按编号排序,第 i 个变为 (a_i+i),这样可以保证每个盒子里的球编号互不相同了,发现任意从 ([2, n + m]) 选出来 n 个数都可以还原到原来的数列

拓展一:盒子有编号(直接乘上 fac[n])

拓展二:盒子可以为空 (隔板法的解方程变形)

扩展三:球有个数限制,同隔板法

不相邻组合

问题:有 n 个球,m 个盒子,选出的球不能相邻(即i 和 i + 1 不可同时选择),有多少种组合方式?

[H(n,m)={n-m+1 choose n} ]

理解:构造

同可重集合将[1, n] 缩小到 [0, n-m],易证

格路模型

从坐标原点走到 ((n,m)) 的方案数是

[{{n+m}choose n} ]

没啥好说的。。。

艾提艾斯提模型

以前从未听说QAQ

[{{n+m+1}choose m}=sum_{i=0}^m {n+m-ichoose m-i} ]

从坐标 ((n+1,m)) 开始,枚举第一步向下走多少步,且从左边走过来

画个图会很好理解

备胎模型

奇怪的名称增加了

[{n choose l}{l choose r}={n choose r}{n-rchoose l-r},lin[r,n] ]

从 n 中选 l 个再从 l 中选 r 个等价于直接从 n 中选 r 个,再从剩下的选 (l - r)

直接走定义式也可证明

拓展形式

[prod_{i=1}^k{a_{i-1}choose a_i}={a_0choose a_k}prod_{i=1}^{k-1}{a_0-a_ichoose a_i- a_{i+1}} ]

奇偶模型

[sum_{i为奇数}{nchoose i}=sum_{i为偶数}{nchoose i}=2^{n-1} ]

二项式定理令 (x = 1, y = -1) 即可证明

组合解释

对于 x 元素来说,有一半的集合包含它,一半的集合不包含,包含它的奇子集将它去掉变为不包含它的偶子集,不包含它的奇子集加上它变为包含它的偶子集,得证!

两个恒等式

上定下动

[sum_{i=1}^n {nchoose i}=2^n ]

下定上动

[sum_{i=r}^n{i choose r}={n+1choose r+1} ]

理解:枚举选出来的最大编号

二项式反演

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莫比乌斯反演

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高等数学OI基础

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多项式全家桶

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以上是关于常用计数技巧和方法(Part 1)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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