常用计数技巧和方法(Part 1)
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了常用计数技巧和方法(Part 1)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
常用计数技巧和方法(理论篇)
文章较长且大量使用 (LaTeX) 导致渲染较慢,因此分为两个部分
由于计数方面的知识非常的繁细,容易忘记,使用时不够熟练,这里总结一下
以下内容有所借鉴百度百科和大佬的 blog %%%
排列组合定义
排列:指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序
组合:组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序
加法原理
第一类办法中有 (m_1) 种不同的方法,在第二类办法中有 (m_2) 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 (m_n) 种不同的方法,那么完成这件事共有 (N=m_1+m_2+m_3+…+m_n) 种不同方法
乘法原理
做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 (m_1) 种不同的方法,做第二步有 (m_2) 种不同的方法,……,做第n 步有 (m_n) 种不同的方法,那么完成这件事共有 (N=m_1×m_2×m_3×…×m_n) 种不同的方法。
二项式定理
很好理解,每个 ((a+b)) 中可以选出 a 或 b,最终有 k 个 a 的方案数就是 (n choose k)
其他变形,在部分题可以应用
杨辉三角
容易发现其与二项式系数有着对应关系
其他性质
- ({n choose i} = {n-1 choose i}{n-1 choose i-1}) 选不选 n 号物品
- ({n choose i} = {n choose n-i})
- (2^n=sum_{i=0}^n {nchoose i})
- (sum_{i为奇数}{nchoose i}=sum_{i为偶数}{nchoose i}=2^{n-1})
组合数的奇偶(了解)
对组合数 (n choose k):将 n,k 分别化为二进制,若某二进制位对应的 n 为 0,而 k 为 1,则 (n choose k) 为偶数;否则为奇数。
快速计算组合数的方法
- 预处理逆元,定义法计算 (Theta (N+T))
- 将杨辉三角打表,(Theta(N^2+T))
- 对于模数较小的情况可以使用 Lucas 定理和 exLucas 解决
- 暴力处理上下的质因数消元
范德蒙德卷积
(sum_{i=0}^k{n choose i}{m choose k-i}= {n + mchoose k})
理解:从两堆共选 k 可表示为枚举第一堆选多少的方案数 * 第二堆的方案数
(sum_{i=1}^n{n choose i}{n choose i-1} = { 2nchoose n-1})
可以从第一个式子推来,将 ({n choose i}) 化为 (n choose n-i) 即可
(sum_{i=0}^n{nchoose i}^2={2n choose n})
(sum_{i=0}^m{n choose i}{m choose i}={n+m choose m})
隔板法(重点)
问题形式一:将 n 个相同苹果放入 m 个不同的箱子里的方案数(可以限制是否为空)
问题形式二:解方程 (x_1+x_2+ cdots+x_m = n) ,正整数解或自然数方案数
将 n 个苹果排成一列,发现有 n - 1 的空隙,在其中 m 个空隙中插上隔板,两个隔板中的苹果扔到同一个箱子里即可,如果可以为零就加上 m 个虚拟苹果
- 解方程变形:(x_1+x_2+ cdots+x_m le n) 再加入一个变量即可
- 个数限制:容斥枚举那些超出限制即可
可重组合
问题:有 m 种球每种球都是足够多的,有 n 个相同盒子,现在要把盒子塞满(一种球可以用多次),多少种方案?
理解一:隔板法
枚举每种球放入几个盒子,隔板法解决即可
理解二:构造
将 n 个盒子的球按编号排序,第 i 个变为 (a_i+i),这样可以保证每个盒子里的球编号互不相同了,发现任意从 ([2, n + m]) 选出来 n 个数都可以还原到原来的数列
拓展一:盒子有编号(直接乘上 fac[n])
拓展二:盒子可以为空 (隔板法的解方程变形)
扩展三:球有个数限制,同隔板法
不相邻组合
问题:有 n 个球,m 个盒子,选出的球不能相邻(即i 和 i + 1 不可同时选择),有多少种组合方式?
理解:构造
同可重集合将[1, n] 缩小到 [0, n-m],易证
格路模型
从坐标原点走到 ((n,m)) 的方案数是
没啥好说的。。。
艾提艾斯提模型
以前从未听说QAQ
从坐标 ((n+1,m)) 开始,枚举第一步向下走多少步,且从左边走过来
画个图会很好理解
备胎模型
奇怪的名称增加了
从 n 中选 l 个再从 l 中选 r 个等价于直接从 n 中选 r 个,再从剩下的选 (l - r) 个
直接走定义式也可证明
拓展形式
奇偶模型
二项式定理令 (x = 1, y = -1) 即可证明
组合解释
对于 x 元素来说,有一半的集合包含它,一半的集合不包含,包含它的奇子集将它去掉变为不包含它的偶子集,不包含它的奇子集加上它变为包含它的偶子集,得证!
两个恒等式
上定下动
下定上动
理解:枚举选出来的最大编号
二项式反演
莫比乌斯反演
斯特林数和简单生成函数
高等数学OI基础
多项式全家桶
以上是关于常用计数技巧和方法(Part 1)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
11.python并发入门(part6 Semaphore信号量)