动态规划面试题型归类机

Posted 2020-12-19 xytpai

1. 路径数目问题

• 1.1. 一维路径数目

题目概述
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

解法
第一步找到适用于该题的状态表示，这里把状态函数设定为f(n)，即跳了n个台阶的跳法总数。现在需要通过先前的信息推导f(n)，假设青蛙跳了n格，如果它是1跳到n格的，那么一共f(n-1)种跳法；如果是2跳到n格的，那么一共f(n-2)种跳法，所以一共有f(n-1)+f(n-2)种跳法。

[f(n)= egin{cases} 1 & n=1 2 & n=2 f(n-1) + f(n-2) & n>2 end{cases} ]

• 1.2. 二维路径数目

题目概述
有一个障碍表(二维数组)，1表示有障碍不能走，0可以走，只能向右一格或向下一格走
找到从左上角到右下角一共的路径数目

def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
    # type obstacleGrid: List[List[int]]
    row = len(obstacleGrid)
    col = len(obstacleGrid[0])
    dp = [[1] * col for i in range(row)]
    for i in range(0, row):
        for j in range(0, col):
            if obstacleGrid[i][j]: # 如果这个点是障碍
                dp[i][j] = 0
            elif i == 0:
                dp[i][j] = dp[i][j-1]
            elif j == 0:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
    return dp[-1][-1]

• 1.3. 串路径数目

题目概述
‘A‘到‘Z‘用数字1~26表示
Input: "12"
Output: 2
12可以有两种编码方式 "AB" (1 2) or "L" (12).

解法
相当于从字符串首到尾找路径数目

def numDecodings(self, s):
    if len(s)==0 or s[0]==‘0‘: return 0
    dp = [1,1]
    for i in range(2, len(s)+1):
        if s[i-2:i]==‘10‘ or s[i-2:i]==‘20‘:
            dp.append(dp[i-2])
        elif 10<int(s[i-2:i])<=26:
            dp.append(dp[i-1]+dp[i-2])
        elif s[i-1]!=‘0‘:
            dp.append(dp[i-1])
        else:
            return 0
    return dp[-1]

2. 路径耗费问题

• 2.1. 二维路径耗费

题目概述
非负二维数组，找到从左上角到右下角的路径，使元素和最小的那个最小值
只能向右一格或向下一格走

解法
设定状态dp[row][col]表示从左上角走到row行col列元素和最小的路径的元素和大小

[dp[row][col] = min(dp[row][col-1], dp[row-1][col]) + matrix[row][col] ]

题目概述
[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]
给以上这种三角形，返回从顶到底的元素和最小走法（每次只能走邻近子节点）
比如以上的结果：2 + 3 + 5 + 1 = 11

[dp[row][i] = min(dp[row+1][i], dp[row+1][i+1]) + triagnle[row][i] ]

3. 数字拆分问题

• 2.1. 求拆分数目

题目概述
Input: n = 13
Output: 2
Explanation: 13 = 4 + 9.
输入一个正整数n, 输出其最少能由几个完全平方数相加组成（完全平方数为1,4,9,16,...）

解法：

[dp[n] = min(dp[n-s]+1), s in 1,4,9,16,... ]

int numSquares(int n) {
    int *dp = new int[n + 1];
    dp[0] = 0;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        int _min = INT_MAX;
        for (int j=1; j*j<=i; j++) {
            _min = min(_min, dp[i-j*j]+1);
        }
        dp[i] = _min;
    }
    delete[]dp;
    return dp[n];
}