前缀函数与KMP算法

Posted 2020-12-19 mingyunyuansu

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title: 前缀函数与KMP算法
date: 2020-08-05
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因为大二的时候全程划水，导致我对KMP只听说过名字。老师似乎都没展开讲，我记得是有一节下课时说这个算拓展内容，可以自己回去研究，所以我印象中还蛮难的。

前段时间在廖雪峰的网站重新学了一遍，自己代码实现了一下，感觉还蛮简单的，与印象中不符，有点奇怪。

直到今天在Leetcode上用KMP解一道字符串匹配居然超时了，才发现不对劲。

仔细查阅后才意识到，KMP的难点根本不在于算法本身，而在于构建前缀函数的过程。廖雪峰的网站把这个前缀函数是什么讲得很清晰了（也就是PMT，部分匹配表），但是如果按照朴素的想法来构建这个东西，会发现时间复杂度特别高：

//朴素方法，j即最长公共前后缀的长度
vector<int> pi(s.size());
for (int i = 1; i < s.size(); ++i) {
    for (int j = i; j >= 0; --j) {
        if (s.substr(0, j) == s.substr(i - j + 1, j))
            pi[i] = j;
            break;
    }
}

双重循环内再加子串的比较，时间复杂度直接来到O(N^3)。尽管构建后的表格能加速后面的比较，但是构建表格本身消耗立方时间的话会得不偿失，一定要优化这个方法。

看了半天，还是OI Wiki讲得靠谱。

优化

我们首先可以观察到一点就是，i + 1位置的前缀函数pi[i + 1]，最大也只能比pi[i]大1。

这个应该不难理解。因为相对于上一个子串，长度只增加了一，就算是最完美的情况下，前缀函数（PMT）的值也只能加1。例如字符串abab，前三个前缀函数是[0, 0, 1]，现在看pi[3]也就是第四位，前缀只能增加为2。

但是这里难点就在于，我们要思考是什么情况可以使得p[i + 1] == p[i] + 1。好吧，我觉得一般人也思考不出来这个东西，答案就是s[i + 1] == s[pi[i]]的时候。

这个式子初看直接懵逼，卡了我一小时，突然想到举个例子不就完了，于是举个例子，确实很简单。。。可惜我一个人自学，就是容易走进死胡同。

看例子saba，其pi为[0,0,1]我们现在来填第四个字符，使得pi变为[0,0,1,2]。根据公式知道s[pi[2]] == ‘b‘，变为abab。

倒推下原因，因为pi[2] == 1其实就是说ab(a)，右边这个a处的最长公共前后缀长度为1，其实就是前后的两个a。现在想让pi[3] == p[2] + 1，就是使得新的最长前缀变为ab，那么其相应的后缀ax，就只能是ab，所以合并abax == abab。

推广

上面的优化方式其实不仅能用边界情况的一次，其实可以一直往前推广。我们第一次是看abax中的s[3]和s[1]的对比（也就是s[3]和s[pi[2]]），要是这个对比不相等，我们就继续比较s[3]和s[pi[pi[2]] - 1]。这么说好像更复杂了。。。直接看代码吧：

//j是当前最大前缀长度
vector<int> pi(s.size());
for (int i = 1; i < s. size(); ++i) {
    int j = pi[i - 1];
    while (j > 0 && s[i] != s[j]) j = pi[j - 1];//一次不成，就把结论往前推广
    if (s[i] == s[j]) ++j;//成了，依然是+1
    pi[i] = j;
}

循环隐藏

上面j每次都是从最边界的情况开始往前迭代，其实还能偷懒，写成这样：

vector<int> pi(s.size());
for (int i = 1, j = 0; i < s.size() - 1;) //最后一位其实可以不算，因为没用
{
    if (s[i] == s[j]) {
        pi[i] = ++j;
        ++i;
    }
    else {
        //把内层循环合并了
        if (j == 0) {
            ++i;
        }
        else {
            j = pi[j - 1];
        }
    }
}

复杂度分析

众所周知KMP时间复杂度是O(N+M)。查找的过程O(N)先不说，我现在还比较困惑为什么构建前缀函数的过程只有O(M)次操作。j不是在回滚吗？网上说用均摊分析，但是似乎都没说清楚，有知道的人能说一下吗？