CSUST 4002-你真的会字符串吗？（DP）

Posted 2020-12-19 lonely-wind-

题目链接：http://acm.csust.edu.cn/problem/4002
CSDN食用链接：https://blog.csdn.net/qq_43906000/article/details/107803402

Description

对于一个正整数S,我们可以看成 (S = {s_n,s_{n-1},......,s_i,......s_1}),其中(s_i = lfloor frac S {10^{i-1}} floor mod 10)
我们定义两个整数的#运算:(S # T={(s_n*t_n+pre_n)mod 10...,(s_1*t_1+pre_1)mod 10})
其中(pre_i=left{egin{matrix} 0 & i=1\ (s_{i-1}*t_{i-1}+pre_{i-1})/10 & 1leq ileq n end{matrix} ight.)

如果你了解过两个整数的加法,#运算与加法类似,不过每一位相加变成了每一相乘,并且最后的结果只保留后n位
例如:(123 # 23 =49,258 # 24 = 132,423 # 523=49)
现在,你有一个长度为n的整数AA,你能否求出存在多少种长度为n的正整数BB,满足(A # B = A),结果对(998244353)取模.

PS: (A)和(B)都可能存在前导零

Input
第一行一个整数(n(1leq n leq 2e5)),表示正整数的长度

第二行一个长度为n的正整数(A),表示所给的正整数

Output
一行一个整数,表示结果.

Sample Input 1
2
13
Sample Output 1
1

Sample Input 2
3
205
Sample Output 2
20

Sample Input 3
4
3217
Sample Output 3
2

emmm，这题是个DP，维数也知道是个2维的。。。但一直不知道(dp[i][j])表示的是什么，后面被大佬一提醒。。。(j)可以表示进位的位数！哦！恍然大悟，然后劈里啪啦一顿乱敲。

我们可以用(dp[i][j])表示为第(i)位给第(i+1)位进了(j)位的时候的方案数，那么对于第一位进行的初始化如下：

for (int i=0; i<=9; i++) {
	if (i*s[1]%10==s[1]) dp[1][i*s[1]/10]++;
}

然后从第二位开始进行转移，那么怎么转移呢？对于位置肯定是要枚举的，对于当前位置要放什么数（如上所写）似乎也不能避免枚举，那么现在能够进行DP吗？似乎不太行，因为我们不知道上一位的进位是多少，那么就没办法转移，所以我们还要对上一位的进位进行枚举。那么就可以得到如下方程：

for (int i=2; i<=n; i++)
	for (int j=0; j<=9; j++)//枚举当前放置的数
		for (int k=0; k<=9; k++)//枚举上一位的进位
			/*DP*/

DP的话一定是在方案合理的情况下生成的，也就是说((s[i]*j+k)\%10)必须还是(s[i])，那么似乎转移也就出来了：(dp[i][(s[i]*j+k)/10]=(dp[i][(s[i]*j+k)/10]+dp[i-1][k])\%mod)
那么最后的答案好像就是(dp[n][0])了，不过。。。显然不太对，最高位实际上进多少位都没关系，反正不参与计算的，所以最后的答案是(sum_{i=0}^{9}dp[n][i])。

不过需要注意的是，出题人提醒了一下前导零。。。。不提醒还好，一提醒我就把前导零删了。。。前导零是不能删的！！！也就是说0013得出的结果是100

以下是AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int mac=2e5+10;
const int mod=998244353;

char ss[mac];
int s[mac];
ll dp[mac][10];

int main(int argc, char const *argv[])
{
	int n;
	scanf ("%d",&n);
	scanf ("%s",ss+1);
	for (int i=1; i<=n; i++) s[i]=ss[n-i+1]-‘0‘;
	for (int i=0; i<=9; i++){
		if (i*s[1]%10==s[1]) dp[1][i*s[1]/10]++;
	}
	for (int i=2; i<=n; i++)
		for (int j=0; j<=9; j++)//枚举当前放置的数
			for (int k=0; k<=9; k++)//枚举上一位的进位
				if ((s[i]*j+k)%10==s[i]) 
					dp[i][(s[i]*j+k)/10]=(dp[i][(s[i]*j+k)/10]+dp[i-1][k])%mod; 
	ll ans=0;
	for (int i=0; i<=9; i++) ans=(ans+dp[n][i])%mod;
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}