Codeforces Round #430 (Div. 2) A C D三个题

Posted 2020-10-05

·不论难度，A,C,D自己都有收获！

 

[A. Kirill And The Game]

·全是英文题,述大意：

   给出两组区间端点：l,r,x,y和一个k。(都是正整数，保证区间不为空),询问是否在[x,y]区间内存在一个整数p,使得p*k属于[l,r],如果存在，则输出‘YES‘，否则输出‘NO‘。(1<=l,r,x,y<=10⁷)

·分析：

    首先看见了10⁷,发现可以直接O(n)暴力枚举：枚举区间[x,y]的所有数，判断它与k的乘积是否在[l,r]中就可以了。从容AC:

   

    其实在这之前大米饼首先想到的是O(1)的思路，即：利用[x,y]和k形成区间[x*k,y*k],然后判断该区间是否和[l,r]有交集。然后就笨笨地WA了。原因是这里只有整数点，新区间相邻点之间的间隔是k,可能[l,r]就夹在相邻两点之间并不接触两点，这样是NO而不是YES。例子如下：

     和它相似，只不过输出YES的例子就是这样：

           观察两种情况的差异，我们找出第一个比l大的点p1，再找出第一个比r小的点p2（点就是满足[x*k,y*k]又是k的倍数的点），我们可以发现第一幅图中位置p1>p2,第二幅图中p1<p2,所以将其作为判断依据就可以了,总体思路就是：判断区间[p1,p2]是否为空，是否和[x,y]有交集，这其实是上文WA方法的倒过来同时统一单位的改进版。

 

[C. Ilya And The Tree]

·述大意；
     给出一棵树，共有n个结点(1<=n<=200000),并且输入每个点的点权w(1<=w<=200000)。每一个点有一个美丽值，计算方法是它到根节点的路径(包括它)的点权值的GCD。要求按1~n输出每个点的美丽值。但是有两个条件：①可以将路径上一个点的权值修改为0。②每个点求解独立(就是说求完一个点，树又恢复原样)。

·分析：

     值得注意的是求解独立,然后只能修改一个点的权值为0。

     求所有节点的GCD？我们脑袋里可能会浮现这样的图：

              

    当然，白色的点表示我们将它变成0了(对于任意正整数a,GCD(a,0)=a)。这样看来我们要在这其中找到最优的GCD值。写DP难以转移，而且也不符合DP的要求。从数据范围来看，是可以使用"暴力"的方法求解的：

     对于每个点，我们都记录图中的所有情况GCD值，然后找到最大值就可以了，然而怎么找到个节点的所有情况——可以从它的父节点那里索取，即将父节点的每条情况链加入一个u，另一种是删掉当前的u(看图中一层一层的关系就可以了，这方法在代码中也很清晰)。

     具体的写法，网上多用set，大米饼用的是sort+unique,使用unique是因为不去重是会恰好MLE的。

     代码来啦：

 

[D. Vitya and Strange Lesson]

·述大意：

     输入n个数a_i和m个询问(1<=n,m<=300000,0<=a_i<=300000),每个询问输入x,表示将所有数异或x后，求n个数的Mex(异或结果对后来的询问依旧有效)。

·分析：

     先说网络上常用的一个解法吧——Mex一出现，或许考虑Trie树。

             由于log₂300000约等于18.2，所以我们构建一个深度为20的01字典树。所谓01字典树，就是只有左右儿子分别表示01的字典树。并且从根结点到叶子结点是二进制从高位到低为排的。那么字典树的所有叶子结点可以表示1~2¹⁹的所有整数。首先不考虑异或的情况，我们将一些数字按照二进制形式从高位(20位)到低位插入字典树，怎样快速得到Mex？由于数字的存在在树上体现为叶子结点的存在，如果前缀为000000000000000001_ _的数字都存在(即4,5,6,7都存在)，在树上的表现为某一个子树是"饱满的"(可以理解最底层所有叶子结点都存在)。那么我们要找的答案肯定是在一颗不饱满的子树中

（回寝室睡大觉）