杭电多校第四场 1003 Contest of Rope Pulling(随机化+动态规划)

Posted 2020-12-19 ucprer

题意:

多组输入，给定a,b两个数组，长度分别为n,m。每个元素有两个值:wi,vi，要求从两个数组中分别选出一个子数组，使得两个子数组的wi和相同，并使总的vi之和最大。

数据范围：n,m<=1e3，wi<=1e3，vi<=1e9，(sum(n+m)<=1e4)

解法:

很容易想到分别对两个数组进行背包，求出每种可能重量和的价值最大值，然后遍历两个dp数组求出价值和的最大值，复杂度为(n^2*wi)，但是这样一组样例就有1e9，5组就有5e9，稳TLE了。

首先想到将两个背包合并为一个，即对b数组的wi取反加入到a数组中，答案就是对a数组做背包后dp[0]的值。（由于数组下标不能为负，需要对每个状态加上一个base值，使所有状态对应的下标为正）。

合并为一个背包后，可以发现最后需要的答案就是一个dp[0]（为方便描述暂且不加上base值），如果对所有可能的重量的状态进行转移，会浪费掉大量对答案不一定有贡献的时间，那么如何避免这种情况呢？应该采用对合并后的a数组进行随机化的方法，基于一个随机化的数组，绝对值很大的状态再转移回dp[0]的概率是很低的，因此可以不考虑绝对值很大的状态，即减小dp数组的范围，这样答案也是有很大的几率是正确的。

算一下时间复杂度，评测机能跑5s，就是5e8的计算量，由于总和有限制，对于n=1000,m=1000=这种数据最多有5组，因此一组数据计算量是1e8，背包要做n+m次，每次计算量为5e4（但是这样可能会wa，要开大一点开1e5，评测机能3s稳过）

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF=1e15;
const int maxn=2e3+5;
const int maxdp=1e5+5;
const int base=5e4;
const int lim=1e5;
pair<int,int> pi[maxn];
void debug(ll *a,int l,int r){
    for(int i=l;i<=r;i++){
        printf("%d ",a[i]);
    }
    puts("");
}
ll w[maxn],v[maxn];
ll temp[maxdp];
ll dp[maxdp];//dp[i]:i-base重量的最大价值
void init(){
    fill(dp,dp+maxdp,-INF);
    fill(temp,temp+maxdp,-INF);
    dp[base]=0;
    temp[base]=0;
}
int main () {
    srand(time(0));
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        init();
        for(int i=1;i<=n+m;i++){
            scanf("%d%d",&pi[i].first,&pi[i].second);
            if(i>n){
                pi[i].first=-pi[i].first;
            }
        }
        random_shuffle(pi+1,pi+1+n+m);
        for(int i=1;i<=n+m;i++){
            w[i]=pi[i].first;
            v[i]=pi[i].second;
        }
        for(int i=1;i<=n+m;i++){
            for(int j=min(lim,(int)lim+(int)w[i]);j-w[i]>=0;j--){
                if(dp[j-w[i]]!=-INF){
                    temp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
                }
            }
            for(int j=0;j<=maxdp-1;j++){
                dp[j]=temp[j];
            }
        }
        printf("%lld
",dp[base]);
    }
}