多项式总结

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了多项式总结相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

多项式

一.常用卷积形式

·$a_{i}=sum_{j=0}^{i} b_{i-j}c_{j}$

直接FFT/NTT

·$a_{i}=sum_{j=1}^{i} a_{i}b_{i-j}$

分治FFT

·$a_{i}=sum_{j=0}^{C} b_{i+j}c_{j}$

其中$C$为一个定值,那么将$c$翻转之后,$b$与$c$的下标之和即为一个定值,直接卷积,最终下标减去$C$

二.卷积的应用

主要是利用上面的形式来不断的变形

·卷积在字符串匹配中的应用

如果字符串中没有特殊作用的字符,那么可以直接用KMP或者AC自动机,但一旦有像通配符这样的字符时,就可以考虑构造卷积来实现

对于一般的字符串匹配,设$S,T$为两个字符串,$T$为文本串,$S$为模式串,$n$为$S$的长度(下标从0开始),可以构造如下的卷积形式

$f_{i}=sum_{j=0}^{n-1}(T_{i+j}-S_{i})^{2}$

如果最终$f_{i}=0$那么说明$S$在$T$的$i$位置开始可以匹配,计算的话,直接利用上面的形式翻转计算即可 

P.S.这里利用平方的原因是,如果只用$T_{i+j}-S_{i}$的话,会存在正负抵消的情况,比如ab和ba会误判成匹配

如果存在通配符,那么直接在最后在乘上$S_{i}$即可,此处能取到0时当且仅当$S_{i}$与$T_{i+j}$相等,或$S_{i}$是一个通配符

·卷积模拟无限背包过程

在次数为物体体积那一项系数变为1,常数项系数变为1的多项式,这个多项式自乘多少次,就是从中选取多少个物体

如果能组成体积为$v$的物体,只有在第$v$项前的系数不为0时才可行

注意这个卷积的$len$一定要开到足够大,最大体积的两倍以上,因为DFT是循环卷积,超出len范围的次数,会对len取模叠加到前面项的系数上,导致程序误判

·卷积计算生成函数

如果是生成函数的项数是有限项,那么可以直接FFT乘起来,得到每一项前的系数

也可以用来化简生成函数的封闭形式

这部分做的不多……留坑

·卷积优化DP

当DP方程中出现卷积形式的时候,可以考虑使用FFT进行优化,但要注意下标的顺序和更新顺序

·卷积实现区间的平移

对于给定的若干段区间如果要集体向右平移多次(如果要向左平移则要翻转区间)那么可以构造一个多项式,让需要平移的长度对应的下标上将数组变为1,再将区间在另一个多项式上将能覆盖的点赋值为1(差分即可),然后将两个多项式卷积起来,得到的新的多项式,如果某一项前的系数不为1,那么这个点被平移后的区间覆盖到

三.多项式的操作

·DFT的合并(FFT)

$P(x)=A(x)+ ext{i}B(x)$

$Q(x)=A(x)- ext{i}B(x)$

只要求出P的DFT就可以得到A,B的DFT结果

技术图片

 

 

 

那么将$P$得到的结果区间翻转之后就是$Q$的结果

那么可以通过$P$,$Q$,DFT的结果来计算$A$,$B$,DFT后的结果

$DFT(a_k)=frac{DFT(p_k)+DFT(q_k)}{2}=frac{DFT(p_k)+ ext{conj}(DFT(p_j))}{2}$

$DFT(b_k)= ext{i}frac{DFT(p_k)-DFT(q_k)}{2}$

DFT合并部分转载于https://www.cnblogs.com/birchtree/p/12470386.html#

·多项式求逆

 

以上是关于多项式总结的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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知识总结多项式全家桶(快速幂和开根)

多项式的基本运算(FFT和NTT)总结

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