二叉排序树的中序遍历必然递增

Posted 2020-12-19 wangzheming35

题目引出的思考：

前面学习中，一般都是需要前序+中序或者后序+中序才能构建出一颗二叉树，故本道题中一开始并未给出中序遍历，心中疑惑便出，是否该二叉树不唯一？再细看是二叉排序树，仔细分析显然可得二叉排序树中的中序遍历必然是递增的，故排除自己的错误想法。

证明：

如果一棵非空二叉树（所有结点值均不相同）的中序遍历序列是从小到大有序 的，则该二叉树是一棵二叉排序树。

对于关键字为k的任一结点a，由中序遍历过程可知，在中序遍历序列中，它的左子树的所有结点的关键字排在k的左边，它的右子树的所有结点的关键字排在k的右边， 由于中序序列是从小到大排列的，所以结点a的左子树中所有结点的关键字小于k，结点a的右子树中所有结点的关键字大于k，这满足二叉排序树的性质，所以该二叉树是一棵二叉排序树。