# POJ3621_Sightseeing Cows

Posted 2020-12-19 xiwon

题意：

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给定一张有向图，每个点有权值 (fun[i]) ，每条边有权值 (time[i])

要求找出一个环，使得环上所有点的点权和除以所有边的边权和最大

解：

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首先，显然，这是一道01分数规划题

参照分数规划的套路

假定当前二分的值为 (mid) ，有环 (S=({v}, {e})) ，环有 (t) 个点和 (t) 条边

考虑是否存在 (S) 使得

[sum_{i=1}^{t}(mid*time_{i}-fun_{i})<0 即quadexists S=({v}, {e})quad使得quad mid<frac{sum_{i=1}^{t}fun_{i}}{sum_{i=1}^{t}time_{i}} ]

此时答案应该大于 (mid)

若不存在这样的 (S) ，则

[forall S,quad midgeqslant frac{sum_{i=1}^{t}fun_{i}}{sum_{i=1}^{t}time_{i}} ]

此时答案应该小于等于 (mid)

问题又来了，如何判断是否存在 (S) ？

有这样的办法：

在每次选定 (mid) 之后

新建一个与原图一样的图，但是没有点权，只有边权，并对边权值做如下修改

(forall e_{i}=edge(x -> y),quad weight(x -> y)=mid*time_{e_{i}}-fun_{x})

这样建图有什么好处？

这样，若要判定 (sum_{i=1}^{t}(mid*time_{i}-fun_{i})<0) ，刚好对应图中存在“负环”

由此，在新建的图上跑SPFA，有负环说明 (mid<frac{sum_{i=1}^{t}fun_{i}}{sum_{i=1}^{t}time_{i}})

没有则说明 (midgeqslant frac{sum_{i=1}^{t}fun_{i}}{sum_{i=1}^{t}time_{i}})