a^-1+b problem

Posted 2020-12-18 leukocyte

• 题目链接
  uoj#182

• 前言
  刚看到题以为是毒瘤数据结构，没想到是毒瘤多项式......

• 题意
  给定一个(n)个元素的序列{(a_n)}，有(2)种操作:
  (1.) 给序列中的每个数加(x)
  (2.) 将序列中的每个数变为其逆元（保证此时每个数存在逆元）
  现在有(m)次操作，求每次操作后序列的和。

• 题解
  首先每个数在操作后一定会变成(frac{ax+b}{cx+d}) 的形式（我这一步没想到，然后直接弃了）
  那么我们将其化成(e+f·frac{1}{x+g}) 的形式，令函数(F(x))为这个东西，那么答案为

  [sum_{i=1}^{n} F(a_i)=ne+f·sum_{i=1}^n frac{1}{a_i+g} ]

  这东西看着就知道很不好求，考虑构造函数(G(x)=prod_{i=1}^n (a_i+x)) ，将答案乘上(G(g))，那么就有

  [G(g)sum_{i=1}^n F(a_i)=neG(g)+f·sum_{i=1}^n prod_{j eq i}(a_j+g) ]

  这样就可以考虑再构造函数(H(x)=sum_{i=1}^n prod_{j eq i} (a_j+x)) ，所以

  [sum_{i=1}^n F(a_i)=ne+f·frac{H(g)}{G(g)} ]

  所以就直接离线，多项式多点求值，就做完了。

• 实现
  (G)可以直接分治(fft)解决，(H)观察一下发现是(G)的导数，可以直接求导解决。
  时间复杂度(O(nlog^2n))。