Tarjan算法 双连通分量
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Tarjan算法 双连通分量相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
一、边双连通分量
边双连通分量
边双连通图：若一个无向图中的去掉任意一条边都不会改变此图的连通性，即不存在桥，则称作边双连通图。
边双连通分量：无向图中，删除任意边后仍然能连通的块。简记为“e-DCC”。（无向连通图的极大边双连通分量）
定理：一张无向连通图是“边双连通图”，当且仅当任意一条边都包含在至少一个简单环中。
性质：桥把整张图拆成了若干个 e-DCC，并且桥不在任意一个 e-DCC。
Tarjan算法求边双连通分量
求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分量。先用 Tarjan 算法标记处所有的桥边，再对整个无向图 DFS 一遍（遍历的过程中不访问桥边），划分出每个连通块。
模板题链接 参考代码如下：
#include<bits/stdc++.h> #define int long long using namespace std; const int N=5e4+5,M=3e5+5; int n,m,x,y,cnt=1,hd[N],to[M<<1],nxt[M<<1],dfn[N],low[N],num,c[N],dcc; bool g[M<<1]; void add(int x,int y){ to[++cnt]=y,nxt[cnt]=hd[x],hd[x]=cnt; } void tarjan(int x,int fa){ dfn[x]=low[x]=++num; for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){ int y=to[i]; if(!dfn[y]){ tarjan(y,i); low[x]=min(low[x],low[y]); if(low[y]>dfn[x]) g[i]=g[i^1]=1; } else if(i!=(fa^1)) low[x]=min(low[x],dfn[y]); } } void dfs(int x){ c[x]=dcc; for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){ int y=to[i]; if(c[y]||g[i]) continue; dfs(y); } } signed main(){ scanf("%lld%lld",&n,&m); for(int i=1;i<=m;i++){ scanf("%lld%lld",&x,&y); add(x,y),add(y,x); } for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,0); for(int i=1;i<=n;i++) if(!c[i]) ++dcc,dfs(i); printf("%lld ",dcc); return 0; }
dcc 为 e-DCC 的数量，c[x] 为节点 x 所属的“边双连通分量”的编号。
边双连通分量缩点
将所有的边双连通分量都缩成一个点，把边 (x,y) 看作连接编号 c[x] 和 c[y] 的边双连通分量对应结点的无向边，则原图会变成一棵树（若原来的无向图不连通，则产生森林）。
int cnt2=1,hd2[N],to2[N<<1],nxt2[N<<1]; void add2(int x,int y){ to2[++cnt2]=y,nxt2[cnt2]=hd2[x],hd2[x]=cnt2; } /*.......*/ int main(){ /*.......*/ for(int i=2;i<=cnt;i++){ int x=to[i^1],y=to[i]; if(c[x]!=c[y]) add2(c[x],c[y]); } //dcc 为缩点后森林的点数，cnt2/2 为缩点后森林的边数 for(int i=2;i<cnt2;i+=2) printf("%lld %lld ",to2[i^1],to2[i]); }
有桥图加边变成边双连通图
一个有桥的连通图，通过加边变成边双连通图：求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分量。把每个双连通分量都缩成一个点，得到一棵树。统计出树中度为 1 的结点的个数，即叶节点的个数，记为 leaf。则至少在树上添加 (leaf+1)/2 条边。
结论：当叶子数为 1 时，将一个有桥图通过加边变成边双连通图至少要添加的边数为0；否则为 (叶子数+1)/2。
要求任意两点间至少有两条没有公共边的路，也就是说所要求的图是一个边双连通图。总结为，给定一个图，求需要添加几条边使其变成边双连通图。根据上面提到的，将一个有桥图通过加边变成边双连通图，至少要加 (leaf+1)/2 条边。
#include<bits/stdc++.h> #define int long long using namespace std; const int N=5e3+5,M=1e4+5; int n,m,x,y,cnt=1,hd[N],to[M<<1],nxt[M<<1],dfn[N],low[N],num,dcc,c[N],du[N],leaf; bool g[M<<1]; void add(int x,int y){ to[++cnt]=y,nxt[cnt]=hd[x],hd[x]=cnt; } void tarjan(int x,int fa){ dfn[x]=low[x]=++num; for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){ int y=to[i]; if(!dfn[y]){ tarjan(y,i); low[x]=min(low[x],low[y]); if(low[y]>dfn[x]) g[i]=g[i^1]=1; } else if(i!=(fa^1)) low[x]=min(low[x],dfn[y]); } } void dfs(int x){ c[x]=dcc; for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){ int y=to[i]; if(c[y]||g[i]) continue; dfs(y); } } signed main(){ scanf("%lld%lld",&n,&m); for(int i=1;i<=m;i++){ scanf("%lld%lld",&x,&y); add(x,y),add(y,x); } for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,0); for(int i=1;i<=n;i++) if(!c[i]) ++dcc,dfs(i); for(int i=2;i<cnt;i+=2){ int x=to[i^1],y=to[i]; if(c[x]!=c[y]) du[c[x]]++,du[c[y]]++; } for(int i=1;i<=dcc;i++) if(du[i]==1) leaf++; printf("%lld ",(leaf+1)/2); return 0; }
二、点双连通分量
点双连通分量
点双连通：若一个无向图中的去掉任意一个节点都不会改变此图的连通性，即不存在割点，则称作点双连通图。
点双连通分量：无向图中，删除任意点后仍然能连通的块。简记为“v-DCC”。（无向图的极大点双连通子图）
定理：一张无向连通图是“点双连通图”，当且仅当满足下列两个条件之一：
- 图的顶点数不超过2
- 图中任意两点都同时包含在至少一个简单环中。（简单环：不自交的环）
性质：
- v-DCC 中没有割点。
- 若 v-DCC 间有公共点，则公共点为原图的割点。
- 对于图G，割点可能同时属于多个 v-DCC，其它点只可能属于一个 v-DCC。
- 割点将整张图分成若干个点 v-DCC。
Tarjan算法求点双连通分量
若某个节点为孤立点，则它自己单独构成一个 v-DCC。除了孤立点之外，点双连通分量的大小至少为 2。根据 v-DCC 定义中的“极大”性，虽然桥不属于任何 e-DCC，但是割点可能属于多个 v-DCC。
对于点双连通分量，实际上在求割点的过程中就能顺便求出每个点双连通分量。建立一个栈，存储当前双连通分量，在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边（非横叉边），就把这条边加入栈中。如果遇到满足 dfn[x]≤low[y]，说明 x 是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到边 (x,y) 为止。取出的这些边与其相连的点，组成一个 v-DCC。对于两个 v-DCC，最多只有一个公共点即割点。
模板题链接 参考代码如下：
#include<bits/stdc++.h> #define int long long using namespace std; const int N=5e4+5,M=3e5+5; int n,m,x,y,cnt=1,hd[N],to[M<<1],nxt[M<<1],dfn[N],low[N],num,root,top,tot,st[N]; bool g[N]; vector<int>dcc[N]; void add(int x,int y){ to[++cnt]=y,nxt[cnt]=hd[x],hd[x]=cnt; } void tarjan(int x){ dfn[x]=low[x]=++num,st[++top]=x; if(x==root&&!hd[x]) return (void)(dcc[++tot].push_back(x)); //孤立点 int flag=0; for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){ int y=to[i]; if(!dfn[y]){ tarjan(y),low[x]=min(low[x],low[y]); if(low[y]>=dfn[x]){ flag++; if(x!=root||flag>1) g[x]=1; dcc[++tot].push_back(st[top]); while(st[top]!=y) dcc[tot].push_back(st[--top]); --top,dcc[tot].push_back(x); } } else low[x]=min(low[x],dfn[y]); } } signed main(){ scanf("%lld%lld",&n,&m); for(int i=1;i<=m;i++){ scanf("%lld%lld",&x,&y); if(x==y) continue; add(x,y),add(y,x); } for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) root=i,tarjan(i); for(int i=1;i<=tot;i++) for(int j=0;j<dcc[i].size();j++) printf("%lld%c",dcc[i][j],j==dcc[i].size()-1?‘ ‘:‘ ‘); return 0; }
在求出割点的同时，计算出 vector 数组 dcc，dcc[i] 保存编号为 i 的 v-DCC 中的所有节点。
点双连通分量缩点
因为一个割点可能属于多个 v-DCC，所以 v-DCC 的缩点比 e-DCC 要复杂一些。设图中共有 p 个割点和 t 个 v-DCC。我们建立一张包含 p+t 个节点的新图，把每个 v-DCC 和每个割点都作为新图中的节点，并在每个割点与包含它的所有 v-DCC 之间两边。容易发现，这张新图其实是一棵树（或森林）。
以下代码建立在 Tarjan 求个点和 v=DCC 的代码 main 函数的基础上，对 v-DCC 缩点，构成一棵新的树（或森林），存储在另一个邻接表中。
int cnt2=1,hd2[N],to2[N<<1],nxt2[N<<1]; void add2(int x,int y){ to2[++cnt2]=y,nxt2[cnt2]=hd2[x],hd2[x]=cnt2; } /*.......*/ int main(){ /*.......*/ //给每个割点一个新的编号（编号从 tot+1 开始） num=tot; for(int i=1;i<=n;i++) if(g[i]) k[i]=++num; //建新图，从每个 v-DCC 到它包含的所有割点连边 for(int i=1;i<=tot;i++) for(int j=0;j<dcc[i].size();j++){ int x=dcc[i][j]; if(g[x]) add2(i,k[x]),add2(k[x],i); else c[x]=i; //除割点外，其他点仅属于 1 个 v-DCC } //缩点之后的森林，点数为 num，边数为 cnt2/2 //编号 1~tot 的为原图的 v-DCC，编号 >tot 的为原图割点 for(int i=2;i<cnt2;i+=2) printf("%lld %lld ",to2[i^1],to2[i]); return 0; }
以上是关于Tarjan算法 双连通分量的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章