第二节 矩阵消元

Posted 2020-12-18 luckyzhq

矩阵消元

消元法解线性方程组

消元法解线性方程组的思路，和初中的消元法解二元方程一样，先用两个方程通过乘上一个系数再相加减消去一个未知数，再回代求另一个未知数

例：

({ left{ egin{array}{*{20}{l}} {x+2y+z=2}{3x+8y+z=12}{4y+z=2} end{array} ight. })

用矩阵形式表示（即(Ax=b)形式）：

({ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {1 ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}1}{3 ext{?} ext{?}8 ext{?} ext{?}1}{0 ext{?} ext{?}4 ext{?} ext{?}1} end{array} ight] }{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {x}{y}{z} end{array} ight] }} ight. }={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {2}{12}{2} end{array} ight] }} ight. }} ight. })

在消元法中，矩阵的主对角线上的元素称为主元，它在消元中起到主导作用

1. 写出增广矩阵

前面介绍过({ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {1 ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}1}{3 ext{?} ext{?}8 ext{?} ext{?}1}{0 ext{?} ext{?}4 ext{?} ext{?}1} end{array} ight] }} ight. })称为方程组的系数矩阵，而({ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {1 ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}2}{3 ext{?} ext{?}8 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}12}{0 ext{?} ext{?}4 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}2} end{array} ight] }} ight. })称为方程组的增广矩阵

2. 消元

   ({ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {mathop{{1}}limits_{ˉ} ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}2}{3 ext{?} ext{?}8 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}12}{0 ext{?} ext{?}4 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}2} end{array} ight] }} ight. } xrightarrow { left( 2,1 ight) }{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {mathop{{1}}limits_{ˉ} ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}2}{0 ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}-2 ext{?} ext{?}6}{0 ext{?} ext{?}4 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}2} end{array} ight] }} ight. })

   1. 确定((1,1))为主元（已标出），(-3 imes [行1] + [行2] = [新行])消去((2,1))

      因为((3,1))已经是(0)，可以跳过

   ({ left[ {left. egin{array}{*{20}{l}} {mathop{{1}}limits_{ˉ} ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}2}{0 ext{?} ext{?}mathop{{1}}limits_{ˉ} ext{?} ext{?}-1 ext{?} ext{?}3}{0 ext{?} ext{?}4 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}2} end{array} ight] } ight. } xrightarrow { left( 3,2 ight) }{ left[ {left. egin{array}{*{20}{l}} {1 ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}2}{0 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}-1 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}3}{0 ext{?} ext{?}0 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}5 ext{?}-10} end{array} ight] } ight. })

   ? 2. 可先对行2进行除以2变换，再次确定((2,2))为主元（已标出），(-4 imes [行2] + [行3] = [新行])消去((3,2))

3. 回代

   消元后的矩阵变为：

   ({ left[ {left. egin{array}{*{20}{l}} {1 ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}1}{0 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}-1}{0 ext{?} ext{?}0 ext{?} ext{?}5} end{array} ight] } ight. }{ left[ {left. egin{array}{*{20}{l}} {x}{y}{z} end{array} ight] } ight. }={ left[ {left. egin{array}{*{20}{l}} {2}{?3}{-10} end{array} ight] } ight. })

   在左侧系数矩阵中，以主对角线为界，下部分都是(0)的矩阵称为上三角矩阵（Upper triangular），简称(U)

   转换成方程组并求解：

   ({ left{ egin{array}{*{20}{l}} {x+2y+z=2}{y-z=3}{5z=-10} end{array} ight. } Rightarrow { left{ egin{array}{*{20}{l}} {x=2}{y=1}{z=-2} end{array} ight. })

   问题

   1. 如果线性方程((1,1))已经是(0)了，还能用消元法吗？

      可以，要必须保证主元不能为(0)，可以进行行变换，即交换两行的位置

      初等行变换

      1. （倍加变换）把某一行换成它本身与另一行的倍数和
      2. （对换变换）把两行交换
      3. （倍乘变换）把某一行的所有元素乘以同一个非零常数

      若一个矩阵可以通过初等行变换成另一个矩阵，那么这两个矩阵就是行等价的

   2. 从矩阵等式上看怎么判断矩阵是否相容（有解）？

   一个线性方程组如果有一个或无穷个解，那么称这个方程组是相容的；如果没有解，那么称这个方程组是不相容的

   对于刚才的例子可以看出，能够求出方程组的解，说明上例中的方程组是相容的

   例：

   ({ left{ egin{array}{*{20}{l}} {y-z=8}{2x-3y+2z=1}{4x-8y+12z=1} end{array} ight. } xrightarrow { ext{消} ext{元}}{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {2 ext{?} ext{?}-3 ext{?} ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?} ext{?}1}{0 ext{?} ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}-4 ext{?} ext{?} ext{?}8}{0 ext{?} ext{?} ext{?}0 ext{?} ext{?} ext{?}0 ext{?} ext{?} ext{?}15} end{array} ight] }} ight. } xrightarrow { ext{化} ext{成} ext{方} ext{程} ext{表} ext{示}}{ left{ egin{array}{*{20}{l}} {2x-3y+2z=1}{y-4z=8}{0=15} end{array} ight. })

   省略消元的具体步骤，自己可以试一下，最后(0=15)显然是矛盾的，所以这个例子中的方程组是不相容的

   矩阵消元

   给出

   ({ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {1 ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}1}{3 ext{?} ext{?}8 ext{?} ext{?}1}{0 ext{?} ext{?}4 ext{?} ext{?}1} end{array} ight] }} ight. } xrightarrow { ext{消} ext{去} left( 2,1 ight) }{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {1 ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}1}{0 ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}-2}{0 ext{?} ext{?}4 ext{?} ext{?}1} end{array} ight] }} ight. })

   问：

   ({ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {}{ ext{?}}{} end{array} ight] }} ight. }{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {1 ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}1}{3 ext{?} ext{?}8 ext{?} ext{?}1}{0 ext{?} ext{?}4 ext{?} ext{?}1} end{array} ight] }} ight. }={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {1 ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}1}{0 ext{?} ext{?}2 ext{?} ext{?}-2}{0 ext{?} ext{?}4 ext{?} ext{?}1} end{array} ight] }} ight. })

   只消去((2,1))，要保持第一行和第三行不变，故可以知道最左侧矩阵的一部分为({ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {1 ext{?} ext{?}0 ext{?} ext{?}0}{ ext{?} ext{?} ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}}{0 ext{?} ext{?}0 ext{?} ext{?}1} end{array} ight] }} ight. })

   ([1 0 0])表示取第一行，即第一行不变，不懂的话可以用上一节矩阵和向量的运算推一下

   再拓展一个概念：单位矩阵

   单位矩阵，首先它是一个方阵，单位矩阵乘以矩阵(B)还等于矩阵(B)。通过刚才所说，可以得到单位矩阵的形式为主对角线都是(1)，其他都是(0)的矩阵，比如({ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {1 ext{?} ext{?}0 ext{?} ext{?}0} {0 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}0} {0 ext{?} ext{?}0 ext{?} ext{?}1} end{array} ight] }} ight. })

   如果要消去((2,1))，(-3 imes [行1] + [行2])所以第一行要乘以(-3)，则可得出最左侧矩阵为({ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {1 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}0 ext{?} ext{?}0}{-3 ext{?} ext{?}1 ext{?} ext{?}0}{0 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}0 ext{?} ext{?}1} end{array} ight] }} ight. })，这个矩阵称为初等矩阵，用({Emathop{{}} olimits_{{21}}})表示

   E表示Elementary（初等）或Elimination（消元），下标(21)代表要消去((2,1))

   故回到开头给出的例子，整个消元过程就可以简化为({Emathop{{}} olimits_{{32}} left( Emathop{{}} olimits_{{21}}A left) =U ight. ight. })