习题解答——姜启源《数学模型》

Posted 2020-12-18 zxlzxl

目录

• 1 建立数学模型
  • 1.3 包饺子
• 2 初等模型
  • 2.2 滑艇比赛的成绩
    • 复习题
      • 考虑艇重
      • 不考虑艇重

1 建立数学模型

1.3 包饺子

• 复习题二

  • 假设饺子越大面皮越厚，并且成正比例关系，即

    [egin{align*} SH &= n(sh) H &= a h end{align*} ]

    由此可以得到大饺子和小饺子的面皮面积满足

    [S = frac{n}{a}s ]

    根据教材中的中间结论

    [egin{align*} V &= kS^{frac{3}{2}},& v =ks^{frac{3}{2}} end{align*} ]

    可以得到饺子馅体积的关系满足

    [V = (frac{n}{a})^{frac{3}{2}}v = sqrt{frac{n}{a^3}}(nv) ]

    显然，在这个新的 (V-nv) 关系中，“饺子数量减少一倍能多包多少馅”的回答是与厚度变化系数(a)相关的：

    1. 当(a = sqrt[3]{2} approx 1.26)时，能包的馅数量不变；
    2. 当(a > 1.26)时，能包的馅变少；
    3. 当(a<1.26)时，能包的馅增加。

    可以发现，厚度变化系数 (a) 存在一个临界值 (sqrt[3]{n}) ，当它大于临界值时，能包的馅反而少了，反之则会更多。为了更好地观察这一临界值的变化，我们可以作出饺子数量变化倍数(n)与(a)临界值的关系图：

    

2 初等模型

2.2 滑艇比赛的成绩

复习题

考虑八人艇分重量组（桨手体重不超过86 kg）个轻量级组（桨手体重不超过73 kg），建立模型说明重量组的成绩比轻量组的大约好 5%.

考虑艇重

使用与书中相同的假设。

根据桨手输出的功率与阻力 (f) 和速度 (v) 的乘积成正比，有

[egin{equation} np propto fv label{2.2.1} end{equation} ]

根据假设2，3，可得

[egin{align} f &propto sv^2 &p propto w end{align} ]

代入(eqref{2.2.1})式，可得

[egin{equation} v propto (frac{nw}{s})^frac{1}{3} label{2.2.3} end{equation} ]

教材中已经得到浸没面积 (s) 与艇手数 (n) 的关系

[egin{equation} s propto n^frac{2}{3} label{2.2.2} end{equation} ]

加入艇手体重和艇重，式(eqref{2.2.2})进一步写为

[s propto (kn+nw)^frac{2}{3} ]

其中，(k) 是艇重与艇手数的比例系数.

代入(eqref{2.2.3})式，并考虑到同为八人艇，消去 $ n$，可以得到速度与艇手重量 (w) 的关系

[v propto frac{w^frac{1}{3}}{(w+k)^frac{2}{9}} ]

因为比赛成绩 (t) 与 (v) 成反比，所以

[egin{equation} t propto frac{(w+k)^frac{2}{9}}{w^frac{1}{3}}propto(frac{1}{w}+frac{2k}{w^2}+frac{k^2}{w^3})^frac{1}{9} label{2.2.4} end{equation} ]

由表1中最后一列的数据可知，对于八人艇，(w_0=14.7n)，即(k=14.7). 代入(eqref{2.2.4})式，可得

[t propto(frac{1}{w}+frac{29.4}{w^2}+frac{216.09}{w^3})^frac{1}{9} ]

最终，可以得到重量组和轻量组的相对成绩差为

[delta = frac{t_{73}-t_{86}}{t_{73}} approx 2.4\% ]

不考虑艇重

使用与书中相同的假设。

根据桨手输出的功率与阻力 (f) 和速度 (v) 的乘积成正比，有

[egin{equation} np propto fv label{2.2.5} end{equation} ]

根据假设2，3，可得

[egin{align} f &propto sv^2 &p propto w end{align} ]

代入(eqref{2.2.5})式，可得

[egin{equation} v propto (frac{nw}{s})^frac{1}{3} end{equation} label{2.2.7} ]

教材中已经得到浸没面积 (s) 与艇手数 (n) 的关系

[egin{equation} s propto n^frac{2}{3} end{equation} label{2.2.6} ]

加入艇手体重和艇重，(eqref{2.2.6})式进一步写为

[s propto (nw)^frac{2}{3} ]

代入(eqref{2.2.7})式，并考虑到同为八人艇，消去 $ n$，可以得到速度与艇手重量 (w) 的关系

[v propto w^frac{1}{9} ]

因为比赛成绩 (t) 与 (v) 成反比，所以

[t propto w^{-frac{1}{9}} ]

最终，可以得到重量组和轻量组的相对成绩差为

[delta = frac{73^{-frac{1}{9}} - 86^{-frac{1}{9}}}{73^{-frac{1}{9}}} approx 1.8 \% ]