你能告诉我一亿以内有多少对孪生素数吗？

Posted 2020-12-18 na2s2o3

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了你能告诉我一亿以内有多少对孪生素数吗？相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

所谓孪生素数，就是相差为2的素数对，例如3和5,11和13。如果仅仅是100以内的孪生素数，相信大部分人只用数就能数出来，毕竟100以内只有25个素数。但是如果是1000以内呢？100000以内呢？如果像题目中说的一样，一亿以内呢？

硬着头皮数显然不行了，要解决这个问题，我们要依赖于编程。

要求孪生素数的对数，首先要找到孪生素数，要找到孪生素数，首先要找到素数。C++中有许多找素数的方法，比如基础的试除法，其代码如下：

bool prime(int n) 
{
    if(n<2)  return false;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)  return false;
    }
    return true;
}

这段代码比较基础，也很容易理解。

完整程序如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,cnt; //cnt记录孪生素数对数 
bool prime(int n)  //试除法筛素数 
{
    if(n<2)  return false;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)  return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(prime(i)&&prime(i+2))  //判断是否满足孪生素数定义 
        {
            cnt++;
        }
    }
    printf("%d
",cnt);return 0;
}

一切都很顺利的进行了，我们不禁暗想：

孪生素数，就这？？？

然而，当输入“100000000”时，奇怪的事情发生了，答案久久没有出现在小黑板上，只有光标在闪动着寂寞的白光，宛若孤独而无人陪伴的我。

这令人疑惑，于是我关闭了窗口，重新运行，并输入了较小的数。答案几乎是在敲回车后的一刹那出现在小黑板上。

这说明程序没有问题，输入“100000000”答案迟迟不出现，只有一个可能——程序在运算结果。

既然如此，那我们能做的就只有等待。

终于，在不知多久之后，小黑板上终于出现了我们所希望看到的东西——440312。

虽然得到了结果，但比起这个，我们更想知道它到底算了多久，于是我在程序中加入了从百度抄来的计时程序，如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<time.h>  //头文件 
using namespace std;
clock_t start,finish;  //定义始终 
double duration;  //定义时间 
int n,cnt; 
bool prime(int n)  
{
    if(n<2)  return false;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)  return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    start=clock();  //在程序开始运行时开始计时，注意，若将这句话加在输入之前，会把输入数据的时间记入，影响结果 
    for(int i=2;i<=n-2;i++)
    {
        if(prime(i)&&prime(i+2))  
        {
            cnt++;
        }
    }
    finish=clock();  //结束计时 
    duration=(double)(finish - start)/CLOCKS_PER_SEC;  //计算时间 
    printf( "%f seconds
",duration);  //输出时间    
    printf("%d
",cnt);return 0;
}

当输入“10000”，运算时间为0.002000s，输入“1000000”，运算时间为0.310000s，两次运算时间并没有差很多。

但输入“100000000”，在又一次漫长的等待后，小黑板上出现了惊人的149.797000s，是计算1000000以内的孪生素数对数所用时间的约483倍。

这可怕的数字令我们感到恐惧，若是数据范围再大一些，试除法岂不是要算一年!

看来数据太大，用试除法求解是行不通了，我们需要的是效率更高的算法。

提到高效算法，聪明的你一定能想到Eratosthenes筛选法，翻译成人话就是埃氏筛。

埃氏筛的基本思想：素数的倍数一定不是素数。先假设所有数都是素数，从小到大枚举每一个素数x，把x的倍数都标记为非素数。当从小到大扫描到一个数x时，若它尚未被标记，则它不能被2~x-1之间的任何数整除，该数就是素数。（对整数1特殊处理）

埃氏筛代码如下：

void primes(int n)
{
    memset(v,0,sizeof(v)); //合数标记 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(v[i])  continue;    
        cout<<i<<endl;  //i是素数 
        for(int j=i;j<=n/i;j++)
        {
            v[i*j]=1;
        }      
    }
}

埃氏筛的时间复杂度是O（nloglogn），效率非常接近线性，是一种常用的素数筛法。然而，埃氏筛会对合数进行重复标记，即使是优化之后，其根本原因是算法不能唯一确定产生合数的方式。据此，我们在生成一个需要标记的合数时，每次只向现有的数乘上一个质因子，并且让它是这个合数的最小质因子。这相当于让合数的质因子从大到小累积。具体来说，我们采用如下的筛法：

int v[maxn],prime[maxn]; 
void primes (int n) //用线性筛找素数 
{
    memset(v,0,sizeof(v)); //最小质因子 
    m=0; //素数数量 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i]) //i是质数 
        {
            v[i]=i;
            prime[++m]=i;
        }
                            //给当前的数i乘上一个质因子 
        for(int j=1;j<=m;j++)
        { 
                            //i有比prime[j]更小的质因子，或者超出n的范围 
            if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i)  break;
                            //prime[j]是合数i*prime[j]的最小质因子 
            v[i*prime[j]]=prime[j];
        }
    }
}