HDU 1848 Fibonacci again and again （sg函数，博弈论）

Posted 2020-12-18 hhlya

题面

Problem Description
任何一个大学生对菲波那契数列(Fibonacci numbers)应该都不会陌生，它是这样定义的：
F(1)=1;
F(2)=2;
F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3);
所以，1,2,3,5,8,13……就是菲波那契数列。
在HDOJ上有不少相关的题目，比如1005 Fibonacci again就是曾经的浙江省赛题。
今天，又一个关于Fibonacci的题目出现了，它是一个小游戏，定义如下：
1、 这是一个二人游戏;
2、 一共有3堆石子，数量分别是m, n, p个；
3、 两人轮流走;
4、 每走一步可以选择任意一堆石子，然后取走f个；
5、 f只能是菲波那契数列中的元素（即每次只能取1，2，3，5，8…等数量）；
6、 最先取光所有石子的人为胜者；

假设双方都使用最优策略，请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。

Input
输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占一行，包含3个整数m,n,p（1<=m,n,p<=1000）。
m=n=p=0则表示输入结束。

Output
如果先手的人能赢，请输出“Fibo”，否则请输出“Nacci”，每个实例的输出占一行。

Sample Input
1 1 1
1 4 1
0 0 0

Sample Output
Fibo
Nacci

思路

这是道关于sg函数和博弈论的入门题。在了解sg函数之前，我们也有必要了解一下博弈论的几个经典模型。包括威佐夫博弈，巴什博奕，斐波那契博弈，尼姆博弈等，首先最简单的巴什博奕，那么先手只需要根据n%（m+1）得出的s去取就可以了，反之如果这个s不存在，那么先手必输。斐波那契博弈的话，在巴什博奕的条件上加上了一个两倍条件的限制，那么结论就是如果我当前的先手面对的是一个非斐波那契数，那么先手必胜，反之后手胜。尼姆博弈：扩展到了s堆，我们这个只需要去求取所有堆的数目的异或值，如果这个值是非负的，那么先手必胜，反之后手胜。威佐夫博弈的话，先手必败，当且仅当黄金分割数*（y-x）=x。那么我们来讲一下sg函数，它的实际用处就是来解决一些不那么典型的博弈论的题目，就是对尼姆的一个抽象概括吧。我们标记0为必败态，从0出发构建向上构建每一个状态的sg值，那么sg值等于我所以可能扩展到的sg的mex值，mex是指不在集合中的最小自然数，这样我们就可以达到对每个状态都判断出必胜或者必败。当我的后继状态有一个为0时，我这个状态就是一个必胜态，因为我足够聪明。所以这个构建完成一张有向无环图之后，我们标记所有出发点，去这些点的sg值的异或，先手必胜当且仅当这个值不等于0。至于为什么这个组合状态会等于这些状态的异或值，这个需要用数学归纳证明，这里就不赘述了。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1010;
int sg[maxn],mex[maxn],fib[24];

int main () {
    int n,m,p;
    fib[1]=1; fib[2]=2;
    for (int i=3;i<=1010;i++) fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];

    for (int i=1;i<=maxn;i++) {
        memset (mex,0,sizeof (mex));
      for (int j=1;fib[j]<=i;j++) {
          mex[sg[i-fib[j]]]=1;
      }

      for (int j=0;j<=maxn;j++) {
          if (!mex[j]) {
              sg[i]=j;
              break;
          }
      }
    }

    while (cin>>n>>m>>p) {
        if (n==0&&m==0&&p==0) break;
        if (sg[n]^sg[m]^sg[p]) cout<<"Fibo"<<endl;
        else cout<<"Nacci"<<endl;
    }




    return 0;
}