二次剩余

Posted 2020-12-18 echozqn

学习博客：https://blog.csdn.net/stevensonson/article/details/85845334

之前就想学过，但是是在 (oiwiki) 上学的，那个其实写的有些错误，而且挺难懂的，所以还是推荐自己找博客学习。

什么是二次剩余？

如果存在一个整数 (x)，满足 (x^2equiv n ,(mod ,p)) ，那么称 (n) 是模 (p) 的二次剩余。

对于方程 (x^2equiv n ,(mod ,p)) ，有 (frac{p-1}{2}) 不同的 (n) ,使得方程有解

首先明确不考虑 (n==0) (二次剩余的定义)

因为对于一个(u)，如果大于 (p)，即(u=x*p+y) ，模 (p) 之后等价于 (y)，所以我们首先将 (u) 限制在 ([1,p-1]) 这个范围内。

首先证明有两个解：

(u^2equiv n ,mod ,p) ，那么一定存在 ((p-u)^2 equiv n ,mod,p) 一定成立。

所以对于一个数 (n) ，如果存在解，那么至少存在两个。

再而证明最多两个解：

(x_1^2equiv n,mod,p) ，(x_2^2equiv n,mod,p)

那么 (x_2^2-x_1^2equiv 0,mod,p) ，所以 ((x_1+x_2)*(x_1-x_2)|p) ，因为 (0<x1,x2<p) ，所以 ((x_1+x_2)=p) ，这个解就是上式的 (u) 和 (p-u) ，所以最多只有两个解。

综上所述，所以有 $frac{p-1}{2} $二次剩余的解 (n) 在 ([1,p-1]) 中对应了两个数，所以一定存在 (frac{p-1}{2}) 个数没有在 ([1,p-1]) 中没对应数，那么这些数 (y) 永远不会对应任何 (x) 使得 (x^2equiv y ,mod,p) ， 因为大于 (p-1) 的数都可转化到 ([0,p-1]) 中来。

判断一个数是否是模 (p) 的二次剩余，勒让德符号 (frac{n}{p})

如果 (n) 是模 (p) 的二次剩余，那么 (frac{n}{p}=1)

如果 (n) 不是模 (p) 的二次剩余，那么 (frac{n}{p}=-1)

如果 (p|n) ，那么 (frac{n}{p}=0)

结论：

如果p是一个奇质数，那么 (frac{n}{p}=n^{frac{p-1}{2}})

最后也是最重要的：求解二次剩余

在 ([0,p-1]) 随机挑一个数 (a) ，令 (w=a^2-n) ，如果 (w) 是模 (p) 的一个非二次剩余，那么 ((a+sqrt{w})^{frac{p+1}{2}}) 是一组二次剩余。

证明：

((a+sqrt{w})^p equiv a^p+(sqrt{w})^p,mod,p)

由费马小定理可得：(a^pequiv a,mod,p)

因为 (w) 是模 (p) 的一个非二次剩余，而 (p) 又是一个奇质数，所以 (w^{frac{p-1}{2}}=-1) 那么 (sqrt{w}^p=-sqrt{w})

所以 $(a+sqrt{w})^p equiv a^p+(sqrt{w})^p equiv (a-sqrt{w}),mod,p $

所以((a+sqrt{w})^{p+1} equiv (a-sqrt{w})*(a+sqrt{w}) equiv a^2-w equiv n ,mod,p)

证毕！

struct num {  //建立一个复数域
    ll x, y;
};
ll w;
num mul(num a, num b, ll p) {  //复数乘法
    num ans = {0, 0};
    ans.x = ((a.x * b.x % p + a.y * b.y % p * w % p) % p + p) % p;
    ans.y = ((a.x * b.y % p + a.y * b.x % p) % p + p) % p;
    return ans;
}

ll binpow_real(ll a, ll b, ll p) {  //实部快速幂
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = ans * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans % p;
}

ll binpow_imag(num a, ll b, ll p) {  //虚部快速幂
    num ans = {1, 0};
    while (b) {
        if (b & 1) ans = mul(ans, a, p);
        a = mul(a, a, p);
        b >>= 1;
    }
    return ans.x % p;
}

ll cipolla(ll n, ll p) {
    n %= p;
    if (p == 2) return n;
    if (binpow_real(n, (p - 1) / 2, p) == p - 1) return -1;
    ll a;
    srand(time(NULL));
    while (1) {  //生成随机数再检验找到满足非二次剩余的a
        a = rand() % p;
        w = ((a * a % p - n) % p + p) % p;
        if (binpow_real(w, (p - 1) / 2, p) == p - 1) break;
    }
    num x = {a, 1};
    return binpow_imag(x, (p + 1) / 2, p);
}