第一节 方程组的几何解释

Posted 2020-12-18 luckyzhq

第一节 方程组的几何解释

线性方程的基本问题就是解线性方程组

例：({ left{ egin{array}{*{20}{l}} {2x-y=0}{-x+2y=3} end{array} ight. })

分析：

? 对于二元线性方程组，对应的矩阵表示是

? ({ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {2 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}-1}{-1 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}2} end{array} ight] }} ight. }{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {x}{y} end{array} ight] }={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {0}{3} end{array} ight] }} ight. }} ight. })

? 令：

? ({egin{array}{*{20}{l}} {A={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {2 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}-1}{-1 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}2} end{array} ight] }} ight. }}{x={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {x}{y} end{array} ight] }} ight. }}{b={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {0}{3} end{array} ight] }} ight. }} end{array}})

则原线性方程简化为:(Ax=b)

矩阵(A)称为系数矩阵

从行图像理解方程组

上例中，一行一行看，每一个方程都表示二维平面上的一条直线，作图

两条直线相较于点((1,2))，也就说从行图像上看，方程组的解是一个两条直线的交点

从行图像理解方程组

将原方程组转化成向量形式：

({x{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {2}{-1} end{array} ight] }} ight. }+y{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {-1}{2} end{array} ight] }={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {0}{3} end{array} ight] }} ight. }} ight. }})

左边两个向量，通过(x)和(y)的线性组合形成了右边的向量，此时((1,2))是方程组的解，作图

从列图像上看，方程组的解，是找出左侧向量与(x,y)的合适组合（即线性组合）得到右侧向量

多元方程组

从两元方程组延伸到三元：

1. 行图像：在三维空间中，三个平面的交点（假设有一个解）

   

2. 列图像：通过左侧三个向量的线性组合，得到右侧向量

综合行图像与列图像的分析，多元方程组的行图像是对矩阵(A)的行进行处理，而列图像是对矩阵(A)的列进行线性组合

问题

在这里思考一个问题：对于一个三元方程组（线性方程表示）：

(Ax=x(列1)+y(列2)+z(列3)=b)

由于(x,y,z)都是未知量，它们可能有无数种线性组合，

那么对于任意的(b)，是否都能求出(Ax=b)？也就是说所有列的线性组合能否覆盖整个三维空间？

答案是否定的

比如在列图像角度分析，对于一个方阵（行数和列数相等的矩阵）(A)，当三个列向量在同一平面上时（假设方程组有解），这三个列向量的线性组合也在这个平面上，也就是说(b)只能在这个平面上不会覆盖整个三维空间，这时矩阵(A)称为奇异矩阵，矩阵(A)不可逆的；如果三个列向量不共面，那么它们的线性组合有无数种情况，也就是说(b)的取值覆盖了整个三维空间，这时矩阵(A)称为非奇异矩阵

这是对奇异矩阵和非奇异矩阵几何理解，后面会再进行深入学习

矩阵与向量的运算

例：

({ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {2 ext{?} ext{?}5}{1 ext{?} ext{?}3} end{array} ight] }} ight. }{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {1}{2} end{array} ight] }} ight. })

法一：（线性运算）

原式({=1{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {2}{1} end{array} ight] }} ight. }+2{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {5}{3} end{array} ight] }=} ight. }{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {1 imes 2+2 imes 5}{1 imes 1+2 imes 3} end{array} ight] }} ight. }={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {12}{7} end{array} ight] }} ight. }})

法二：（行运算）左侧矩阵(A)的每一行点乘右侧向量(x)

原式({={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {1 imes 2+2 imes 5}{1 imes 1+2 imes 3} end{array} ight] }={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}} {12}{7} end{array} ight] }} ight. }} ight. }})

两种方法看似相同，但思路不同，第一种方法思路简单，对于再大点的矩阵运算时不易出错