剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和（动态规划）

Posted 2020-12-17 guoyu1

https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof/

1、题目描述：

　　输入一个整型数组，数组里有正数也有负数。数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

　　要求时间复杂度为O(n)。

2、示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

输出: 6

解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

3、思路：

（1）定义状态：

假设 dp(i) 是以 nums[i] 结尾的最大连续子序列和（nums是整个序列）

?以 nums[0] –2 结尾的最大连续子序列是 –2，所以 dp(0) = –2
? 以 nums[1] 1 结尾的最大连续子序列是 1，所以 dp(1) = 1
? 以 nums[2] –3 结尾的最大连续子序列是 1、–3，所以 dp(2) = dp(1) + (–3) = –2
? 以 nums[3] 4 结尾的最大连续子序列是 4，所以 dp(3) = 4
? 以 nums[4] –1 结尾的最大连续子序列是 4、–1，所以 dp(4) = dp(3) + (–1) = 3
? 以 nums[5] 2 结尾的最大连续子序列是 4、–1、2，所以 dp(5) = dp(4) + 2 = 5
? 以 nums[6] 1 结尾的最大连续子序列是 4、–1、2、1，所以 dp(6) = dp(5) + 1 = 6
? 以 nums[7] –5 结尾的最大连续子序列是 4、–1、2、1、–5，所以 dp(7) = dp(6) + (–5) = 1
? 以 nums[8] 4 结尾的最大连续子序列是 4、–1、2、1、–5、4，所以 dp(8) = dp(7) + 4 = 5

（2）状态转移方程：

如果 dp(i – 1) ≤ 0，那么 dp(i) = nums[i]
如果 dp(i – 1) > 0，那么 dp(i) = dp(i – 1) + nums[i]

（3）初始状态：

dp(0) 的值是 nums[0]

（4）最终的解：

最大连续子序列和是所有 dp(i) 中的最大值 max { dp(i) }，i ∈ [0, nums.length)

4、代码：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        int max = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            if (dp[i - 1] < 0) {
                dp[i] = nums[i];
            } else {
                dp[i] = dp[i - 1] + nums[i];
            }
            max = Math.max(dp[i], max);
        }
        return max;
    }
}