二叉树总结概念和性质

Posted 2020-10-04

一、树的概念

树是一些点的集合，这个集合可以为空，若不为空，则它是由一个根节点和0个或多个为空的子树组成，且每个子树都被一条来自根节点的有向边相连。

树叶：没有儿子的节点；兄弟：具有相同父亲的节点；类似还有祖父和孙子节点。

路径：节点n1，n2，n3，...，nk的一个序列，使得对于1 <= i <= k节点ni是ni+1的父亲；路径的长为路径上边的数量，即K+1。

深度：某节点的深度为树根到该节点的唯一路径的长度。

层次：深度相同的节点在同一层中，深度值为层数。

树高度：叶节点的深度最大值。

树宽度：树的各层中节点数最多的一层的节点数为树的宽度。

无序树：如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。

有序树：如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。

森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。

二叉树：一种特殊的树，每个双亲的孩子数不超过2个（0个，1个或2个），提供对元素的高效访问。有左孩子和右孩子。

退化树：树中只有一个叶子结点，每个非叶子结点只有一个孩子。一颗退化树等价于一个链表。

树的节点结构为： 

struct TreeNode{ 
    TYPE element;//该节点的元素 
    TreeNode *firstChild;//指向该节点的第一个孩子 
    TreeNode *nextSibling;//指向该节点的兄弟节点 
};

    

上面的左边的图是一颗树，右边是它的第一个儿子/下一个兄弟的表示法。

树的遍历分为先序遍历：先根节点，再左孩子，最后右孩子；后序遍历：先左孩子，再右孩子，最后树根；层次遍历：一层一层的遍历。

上面的树的先序遍历：ABCDHEIJPQFKLMGN；后序遍历：BCHDIPQJEKLMFNGA。

二、二叉树

二叉树是一棵树，且每个节点都不能有多于两个的儿子，且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

二叉树的性质

• 在二叉树中的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1)。
• 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个节点（k>=1)。
• 对任何一棵二叉树T，如果其叶结点数目为n0，度为2的节点数目为n2，则n0=n2+1。

满二叉树：深度为k且具有2^k-1个结点的二叉树。即满二叉树中的每一层上的结点数都是最大的结点数。

完全二叉树：深度为k具有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应。

• 具有n个节点的完全二叉树的深度为log_2ⁿ + 1。

性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2^{i-1} (i≥1)

证明：下面用"数学归纳法"进行证明。
        (01) 当i=1时，第i层的节点数目为2^{i-1}=2^{0}=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
        (02) 假设当i>1，第i层的节点数目为2^{i-1}。这个是根据(01)推断出来的！
               下面根据这个假设，推断出"第(i+1)层的节点数目为2^{i}"即可。
                由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2^{i-1}=2^{i}。
                故假设成立，原命题得证！

性质2：深度为k的二叉树至多有2^{k}-1个结点(k≥1)

证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用"性质1"可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：
           2⁰+2¹+…+2^k-1=2^k-1
           故原命题得证！

性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log₂ (n+1)

证明：根据"性质2"可知，高度为h的二叉树最多有2^{h}–1个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log₂(n+1)。

 性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1

证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)="0度结点数(n₀)" + "1度结点数(n₁)" + "2度结点数(n₂)"。由此，得到等式一。
         (等式一) n=n₀+n₁+n₂
　     另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：n₁+2n₂。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
         (等式二) n=n₁+2n₂+1
        由(等式一)和(等式二)计算得到：n₀=n₂+1。原命题得证！

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二叉树的结构和遍历

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