《编程之美》区间重合判断的一些思考

Posted 2020-12-17 xrst

问题：给定一个源区间[x, y]和N个无序的目标区间[x1, y1] [x2, y2] ... [xn, yn]，判断源区间是不是在目标区间内（即源区间与[目标区间的并集]是否相交）。

这道题我是少有的不看答案就能把所有解法思考出来的，给了我的笨脑袋一点信心。

简单叙述下两个解法：

解法一：从源区间依次减去目标区间，到最后如果源区间为空，则说明在目标区间内。这种方法在处理过程中，计算过程中源区间变成了一个数组，因为每次减法可能会将其一分为二。每次减法计算哪些源区间被覆盖需要O(logN)的时间复杂度（即使有多个被覆盖也成立，因为我们要找的是一个连续的源区间，因此分别对新区间的left和right进行二分就能达到目的），但是更新这个数组需要O(N)，毕竟是数组，牵一发而动全身。因此整体时间是O(N^2)。

解法二：将目标区间预处理，按left从小到大排序(O(N*logN))，然后将连续的有重叠的合并(O(N))，然后查询源区间是否属于这些处理后的任一个区间(二分，O(logN))。整体时间O(N*logN)。

解法一有改进空间吗？

解法一在中间过程需要存储源区间序列，一般来说无非数组或者链表的形式。如果采用链表，更新只需要O(1)，但是不能随机访问，意味着不能用二分法进行覆盖查询了，因此每一步还是得O(N).

有没有办法结合数组和链表的优势呢？我想到了N年前学过的一个东西：线段树。

源区间初始为这个二叉树的根节点，表示一条线段。每次减去一个目标空间，可能将这个线段直接左截短，右截短，或者分成两个子线段，也就是两棵子树。在有子树的情况下，减法需要递归地向下进行，可能产生新的结点，也可能删除结点。最后判断这棵树是否为空即可。

比如源区间[0,10]，目标区间[4, 6], [2, 8], [1,10]。

初始化：

.
└── 0,10

减去[4,6]：

.
└── 0,10
    ├── 0,4
    └── 6,10

减去[2,8]：

.
└── 0,10
    ├── 0,2
    └── 8,10

减去[1,10]：

.
└── 0,10
    └── 0,1

直觉认为每一次减法的时间复杂度是O(logN)，但是如何证明呢？

首先，N个结点的平均树深度是logN，如果减去一个区间始终都是线性地向下遍历这棵树，那么结论是成立的。对于左截短和右截短的操作，就满足这样的遍历方式。但是还有一种，例如上面的减去[2,8]这一步，会分成左右两棵子树遍历，就不是线性的了。其实这样的分化至多一次，因为分化之后就简化为左截短和右截短了。因此整体上每一步减法的时间复杂度还是O(logN)。

这么一来，时间复杂度优化为解法二的O(N*logN)了。

解法二始终比解法一更优吗？

即使解法一做了上述优化，解法二的空间上也更省。另外一点就是，实际应用中可能不止查询一个源区间，可能是多个。对于这样的应用，解法二无疑更合适，因为每次查询只需要logN的时间。

解法二之所以好，是因为对静态数据进行了预处理，建立了一个静态模型，这样对于动态的查询，能够避免很多重复计算。这让我想到了大数据中的流式处理。

不过如果问题反过来，源区间是静态的，而目标区间是动态的呢？比如目标区间会不断的给出，每次更新目标区间都要进行查询。这样每次都要更新模型，不管怎么优化，时间复杂度都会提高到O(N)。

此时如果用解法一就会更快，甚至可以支持删除目标区间这样的操作，相当于是在线段树上做加法，和减法的时间复杂度一样，只是可能会在树的中间而不是叶子处添加结点。