二分图匹配 双栈排序

Posted 2020-12-17 hhyx

题意

传送门
通过两个栈，4中操作，实现输入序列升序排序

• (操作a：如果输入序列不为空，将第一个元素压入栈S_{1})
• (操作b：如果栈S_{1}不为空，将S_{1}栈顶元素弹出至输出序列)
• (操作c：如果输入序列不为空，将第一个元素压入栈S_{2})
• (操作d：如果栈S_{2}不为空，将S_{2}栈顶元素弹出至输出序列)

如果一个(1sim n)的排列(P)可以通过一系列操作使得输出序列为
(1, 2,sim,(n-1), n)，就称P是一个”可双栈排序排列”。

操作序列为(<a,c,c,b,a,d,d,b>)
另一个可行的序列为(<a,c,c,b,a,d,d,b>)
如果序列可双栈排序，输出字典序最小的操作
否则输出数字(0)

数据范围

(1 leq n leq 1000)

题解

如果只有一个栈，则整个操作顺序是固定的：
从前往后遍历每个数，每次先将当前数压入栈中，如果后面的所有数均比栈顶元素大，则将栈顶弹出，否则栈顶不能被弹出。
因此，我们只需考虑将每个数分配给哪个栈即可。
这里有个很强的性质：
两个数$ i , j ( i leq j )$ 不能被放入同一个栈中，当且仅当存在$ k , k > j $且 (q [k] < q [i] < q [j])

性质证明：
必要性：
如果有 (i < j < k), 且 (q[k] < q[i] < q[j])，则因为 (q[i]) 和 (q[j])的后面均存在一个更小的(q[k])，因此(q[i])和(q[j])都不能从栈中被弹出，所以从栈底到栈顶的元素就不是单调的降序了，那么弹出时得到的序列就会出现逆序对。因此(q[i])和(q[j])不能被分到同一个栈中。
充分性：
如果(q[i])和(q[j])不满足上述条件，则我们在操作过程中一定不会出现矛盾。
在操作过程中，如果当前要入栈的数是(q[j])，那么此时：
所有大于(q[j])的元素，都一定在栈中；
所有小于(q[j])的元素，比如(q[i] < q[j])，则由于后面不存在(q[k] < q[i])，因此(q[i])一定已经出栈；
所以此时将(q[j])压入栈中后，从栈底到栈顶仍然可以保持降序，因此整个进栈、出栈过程是可以顺利进行的。
有了上述性质后，我们只需将所有满足条件的点分到两个栈中去即可。这一步可以转化成图论问题：

如果(i, j)满足条件，则在i和j之间连一条边。
然后判断是否是二分图即可。

答案要求字典序最小，因此从前往后染色时，需要优先将当前点分配到第一个栈中。

时间复杂度
建图时需要枚举所有点对，时间复杂度是(O(n^{2}))。
染色法判定二分图的时间复杂度是 (O(n+m))
最后模拟栈排序的过程需要 (O(n)) 的计算量。

因此总时间复杂度是 (O(n^{2}))

Code

cpp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n;
int a[N];
int f[N];
int color[N];
bool g[N][N];
stack<int>stk1,stk2;
bool dfs(int u,int c){
   color[u]=c;
   for(int i=1;i<=n;i++){
      if(g[u][i]){
         if(color[i] == c)
            return 0;
         if(color[i] == -1 && !dfs(i,!c)) return 0;
      }
   }
   return 1;
}
int main(){
   ios::sync_with_stdio(0);
   cin.tie(0);
   cout.tie(0);
   cin>>n;
   memset(g,0,sizeof g);
   for(int i=1;i<=n;i++)
      cin>>a[i];
   f[n+1]=n+1;
   for(int i=n;i>=1;i--)
      f[i]=min(f[i+1],a[i]);

   for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=i+1;j<=n;j++)
         if(a[i] < a[j] && f[j+1] < a[i])
            g[i][j]=g[j][i]=1;
   memset(color,-1,sizeof color);
   for(int i=1;i<=n;i++)
      if(color[i]==-1 && !dfs(i,0)){
         cout<<0<<endl;
         return 0;
      }
   int now = 1;
   for(int i = 1; i<=n;i++){
      if(color[i]==0) {
         stk1.push(a[i]);
         cout<<‘a‘<<‘ ‘;
      }
      else {
         stk2.push(a[i]);
         cout<<‘c‘<<‘ ‘;
      }

      while(1){
         if(stk1.size() && stk1.top()==now){
            cout<<‘b‘<<‘ ‘;
            stk1.pop();
            now++;
         }
         else if(stk2.size() && stk2.top()==now){
            cout<<‘d‘<<‘ ‘;
            stk2.pop();
            now++;
         }
         else break;
      }
   }
   cout<<endl;
}