简单的多重背包

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了简单的多重背包相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

简单的多重背包( 思维题(starstarstar?))

Descrption

  • 这是一个简单的多重背包问题。
  • 有一个大小为 (n) 的包,你有 (n) 种物品,其中第 (i) 种物品的大小为 (i),数量为 (i) 个((1<=i<=n)),求装满这个背包的方案数是多少?

Input

  • 输入一个数 (n) 如题意,(n<=100000)

Output

  • 输出方案数模 (23333333) 之后的结果。

Sample Input

233

Sample Output

1167892

Hint

  • 对于 (30\%) 数据 (n<=3000)
  • 对于(100\%) 数据 (n<=100000)
  • 来源:(20180718)

分析

  • 多重背包就算加上单调队列优化显然后超时。
  • 分析下对前 (1sim sqrt{n}) 个物品显然是可以全部取完的,而 (sqrt{n}+1sim n) 个物品无法取完,且每一件最多取 (sqrt{n}) 件。所以我们把问题分成两部分考虑。
  • (1sim sqrt{n}) 的物品,只有 (sqrt{n}) 个,令:(f[i][j]) 表示前 (i) 个物品选 (j) 个的方案数,那么有:
    • (f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-i]-f[i-1][j-i*(i+1)])
    • 这是由于有两种决策,一种是不拿 (i) 物品,一种是拿,但是由于不能拿超过 (i) 个,所以要减去多算的方案。
  • 对于 (sqrt{n}+1sim n) 的物品,最多拿 (sqrt{n}) 个,令:(g[i][j]) 表示拿了 (i)(sqrt{n}+1sim n) 物品,重量为 (j) 的方案数。
    • (g[i][j+i]+=g[i][j]) ,将这 (i) 个物品都加 (1) (表示不拿 (sqrt{n}+1) 的物品)。
    • (g[i+1][j+sqrt{n} +1]+=g[i][j])。多拿一个 $sqrt{n} +1 $ 的物品。(再拿一个 $sqrt{n} +1 $ 的物品)
  • 然后把两种情况合并即可。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
const int mod=23333333,N=100005;
int n,sqn,ans,f[2][N],g[335][N],f1[N],f2[N];
int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
void work1() {
	f[0][0]=1;
	for(RI i=1,t=1;i<=sqn;++i,t^=1)
		for(RI j=0;j<=n;++j) {
			f[t][j]=f[t^1][j];
			if(j>=i) f[t][j]=qm(f[t][j]+f[t][j-i]);
			if(j>=i*(i+1)) f[t][j]=qm(f[t][j]-f[t^1][j-i*(i+1)]+mod);
		}
	for(RI i=0;i<=n;++i) f1[i]=f[sqn&1][i];
}
void work2() {
	g[0][0]=1;
	for(RI i=0;i<=sqn;++i)
		for(RI j=0;j<=n;++j) {
			f2[j]=qm(f2[j]+g[i][j]);
			if(i&&j+i<=n) g[i][j+i]=qm(g[i][j+i]+g[i][j]);
			if(j+sqn+1<=n) g[i+1][j+sqn+1]=qm(g[i+1][j+sqn+1]+g[i][j]);
		}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);sqn=sqrt(n);
	work1(),work2();
	for(RI i=0;i<=n;++i) ans=qm(ans+1LL*f1[i]*f2[n-i]%mod);
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

以上是关于简单的多重背包的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

动态规划_01背包_完全背包_多重背包_分组背包

动态规划问题3--多重背包

动态规划问题3--多重背包

混合背包问题

背包多重约束

HDU_2191_多重背包