什么是NP完全问题

Posted 2020-12-16 liyuewdsgame

在学习决策树的时候，我们知道，其一大特点是：寻找最佳的决策树是NP完成问题。什么是NP完全问题，决策树的这一特点又是什么意思？

什么是NP完全问题

这里的NP其实是Non-deterministic Polynomial的缩写，即多项式复杂程度的非确定性问题，NP完全问题有时也会简称为NP-C问题。与此概念相关的还有P类问题、NP类问题等。要理解什么是NP完全问题，首先得从P类问题开始理解。

所有可以在多项式时间内求解的判定问题构成P类问题

判定问题是指回答结果输出为Yes或No的问题，比如：3233是否可以写成两个大于1的数字的乘积？是否存在一条路线有且仅有一次的走过七桥问题的每一座桥？

在设计程序时，我们经常需要评估这个程序的时间复杂度，即衡量当问题规模变大后，程序执行所需的时间增长会有多快。如O(1)表示常数级别，即不管问题的规模变大多少倍，所耗的时间不会改变；O(N^{2)表示平方级别，即当问题规模增大至2倍时，所花费的时间则放大至4倍；O(2}N)表示指数级别，即当问题规模倍数扩大时，所用时间会呈指数放大。

多项式时间则是指O(1)、O(logN)、O(N²)等这类可用多项式表示的时间复杂度，通常我们认为计算机可解决的问题只限于多项式时间内。而O(2^N)、O(N!)这类非多项式级别的问题，其复杂度往往已经到了计算机都接受不了的程度。

所有非确定性多项式时间内可解的判定问题构成NP类问题

NP类问题将问题分为求解和验证两个阶段，问题的求解是非确定性的，无法在多项式时间内得到答案，而问题的验证却是确定的，能够在多项式时间里确定结果。

比如：是否存在一个公式可以计算下一个质数是多少？这个问题的答案目前是无法直接计算出来的，但是如果某人给出了一个公式，我们却可以在多项式时间里对这个公式进行验证。

NP中的一类比较特殊的问题，这类问题中每个问题的复杂度与整个类的复杂度有关联性，假如其中任意一个问题在多项式时间内可解的，则这一类问题都是多项式时间可解。这些问题被称为NP完全问题。

可以说NP完全问题是NP类问题的一种特殊情况，总结这几类问题的特点，可参考如下这个表格：

问题类型	是否能在多项式时间内求解	是否能在多项式时间内验证
P	是	是
NP	是 or 否	是
NP-C	未知	是

注：表格中的问题类型的困难程度依次递增

由表可知，NP类问题是否能在多项式时间内求解，其答案并不明确，如果回答为「是」，岂不是跟P类问题一样了？值得一题的是，P=NP？是千禧七大难题的首个难题，是一个价值百万美元的问题，这个问题本质是求证：能用多项式时间验证解的问题是否内在多项式时间内找出解。

决策树的NP完全问题

在决策树算法中，寻找最优决策树是一个NP完全问题。决策树的这一特点，说明我们无法利用计算机在多项式时间内，找出全局最优的解。

也正因为如此，大多数决策树算法都采用启发式的算法，如贪心算法，来指导对假设空间的搜索。可以说，决策树最后的结果，是在每一步、每一个节点上做的局部最优选择。决策树得到的结果，是没法保证为全局最优的。

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作者：littlehei
链接：https://www.jianshu.com/p/dcb0b52f4935
来源：简书

 

NP完全问题，是世界七大数学难题之一，排在百万美元大奖的首位，够诱惑力吧！咋不求得奖只需要了解了解它是什么就可以了。

 　　  什么是NP完全问题,NP=Non-deterministic Polynomial，也就是多项式复杂程度的非确定性问题， 是不是看汉语翻译一下子给懵了。没事，我们慢慢来，要了解NP问题，我们先从P问题开始，P就是Polynomial（多项式）的意思。P类问题就是所有复杂度为多项式时间的问题的集合。时间复杂度了解吧，我不多讲；多项式就是n^k+n^(k-1)+……等等其中k为任意整数（一般不会很大）。这个数看起来很大，其实人类计算机相对都能接受。就怕遇到指数方增长的问题。

 　　   接下来我们探讨非确定性问题。什么是非确定性问题呢？有些计算问题是确定性的，比如加减乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样的公式是没有的。再比如，大的合数分解质因数的问题，有没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式。这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以在多项式时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案，都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题。

　　　　完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案，一个个检验下去，最终便能得到结果。但是这样算法的复杂程度，是指数关系，因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长，很快便变得不可计算了。经典的NP问题有：梵塔问题，推销员旅行问题等。

    总之理解一句：NP完全问题就是 NP=P？的问题。 
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