前缀和 差分 位运算 双指针

Posted 2020-12-16 kukudewen

前缀和

可以利用前缀和解决用o(n)的时间复杂度求出一段序列的某一段区间的和。

一维前缀和

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

例题

输入一个长度为n的整数序列。

接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。

对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数数列。

接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共m行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤1000001≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],s[N];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        s[i]=s[i-1]+a[i];
        while(m--)
        {
            int l,r;
            scanf("%d%d",&l,&r);
            printf("%d
",s[r]-s[l-1]);
        }
}

二维前缀和

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]
根据矩阵求取前缀和
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]

例题：

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式：

第一行包含三个整数n，m，q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含四个整数x1, y1, x2, y2，表示一组询问。

输出格式：

共q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围：

1≤n,m≤10001≤n,m≤1000,
1≤q≤2000001≤q≤200000,
1≤x1≤x2≤n1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m1≤y1≤y2≤m,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int s[N][N],a[N][N];
int n,m,q;
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
     for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=m;j++)
       scanf("%d",&a[i][j]);
     for(int i=1;i<=n;i++)
       for(int j=1;j<=m;j++)
        s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
        while(q--)
        {
            int x1,y1,x2,y2;
            scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
            printf("%d
",s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]);
        }
    
}