线段树合并

Posted 2020-12-16 sktt1faker

（鸽 王 归 来）

算法简介

线段树合并可以将2个权值线段树合并为一个。

实现

很简单，我们的操作如下：

1. 2棵线段树都有的节点，把它们的值合并。
2. 只有一颗线段树有节点，那么合并出来的线段树节点的值就是这个节点的值。
3. 依次递归下去搞定一切。

一般来说，如果不需要用合并前的线段树信息，我们就可以卡一下空间，把一棵线段树合并到另一个上：

int merge(int x,int y,int l,int r)
{
	if(!x||!y) return x+y;
	//这里写值的合并;
	int mid=(l+r)>>1;
	ls[x]=merge(ls[x],ls[y],l,mid);
	rs[x]=merge(rs[x],rs[y],mid+1,r);
	return x;
}

需要用合并前的线段树的话，空间得开2倍。这时候写个垃圾回收可以卡空间。

应用

看几道例题吧。

1. [Vani有约会]雨天的尾巴 /【模板】线段树合并
   板子题。就差分一下再合并。

2. [POI2011]ROT-Tree Rotations
   首先对于一个权值线段树，它的逆序对数是很好维护的。对于某一个节点，它的子节点已经维护好了权值没有跨过(mid)的逆序对，那么对于跨过(mid)的逆序对，只需要把子节点的权值数量乘起来就行了。

那么我们现在，要用树上一个点的2个儿子更新它自己的信息，就是要求把2个儿子对应的叶子节点区间合并了。那么就用线段树合并，合并时用上述思路计算2种情况跨过(mid)的逆序对数量。

3. [省选联考 2020 A 卷] 树
   好家伙，新鲜出炉的省选题。

注意：这里我们数一个数的位，都是从后往前数。

我们的思路很清晰：用01trie维护每个点。对于某一个点，我们把子树的01trie合并起来（trie合并和线段树合并一个道理，代码几乎一样），再整体加(1)，最后插入该点的权值。现在要解决的问题是如何整体(+1)。
我们思考对一个(2)进制数(+1)的后果，考虑当前位置已经处理完了，要处理下一位（也就是要处理trie的子节点），那么假设下一位是(0)，(+1)后就变成(1)；假设下一位是(1)，(+1)后就变成(0)。也就是说下一位(01)取反了，于是直接交换左右子树。

同时如果下一位原先是(1)，现在变成了(0)，那我们还要考虑进位，于是递归到左子树（因为下一位已经变成(0)了）继续加。假如下一位现在变成(0)，但左子树没有右儿子，那么对于左子树还要新建一个右儿子（相当于你还要添一位）。

于是这道神奇的题就解决了。