LeetCode 面试题 16.11. 跳水板 | Python
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面试题 16.11. 跳水板
题目来源:力扣(LeetCode)https://leetcode-cn.com/problems/diving-board-lcci
题目
你正在使用一堆木板建造跳水板。有两种类型的木板,其中长度较短的木板长度为 shorter
,长度较长的木板长度为 longer
。你必须正好使用 k
块木板。编写一个方法,生成跳水板所有可能的长度。
返回的长度需要从小到大排列。
示例:
输入:
shorter = 1
longer = 2
k = 3
输出: {3,4,5,6}
提示:
- 0 < shorter <= longer
- 0 <= k <= 100000
解题思路
思路:数学
这道题用数学的方法去证明,找规律。先说一下特殊情况:
- 当
k = 0
的时候,这里表示可使用的木板为 0,那么也就无法建造跳水板,返回空列表[]
; - 当
shorter == longer
时,那么表示木板长度相同,那么跳水板的长度只有一种可能,那就是shorter * k
。
现在除开上面两种情况,也就是 longer > shorter, k > 0
的情况时,会有怎样的结论。
在这里,我们先将结论给出,然后再去证明。
结论: 跳水板所有长度的结果有 k+1
种,而且长度分别为:shorter * k + (longer-shorter) * x, 其中 0 <= x <= k
。
现在来证明如何得到这样的结论:
先假设 shorter
的木板有 k-x
个,longer
木板有 x
个。那么跳水板的长度则为:
观察上面式子,我们知道 shorter, longer, k
这些都是常量。只有 x
才是变化的。因为 longer > shorter
,那么 longer-shorter
一定是大于 0,那么上面的式子就可以看成单调递增的一元一次函数。
因为 x
的取值是落在 [0, k]
的(左闭右闭),那么 f(x)
的结果则有 k+1
种(x 从 0 取到 k)。
那么再结合最开始所述的两个特殊情况,将三者结合起来,就是本题的解。
根据结论,跳水板可能的组合结果如下图:
具体的实现代码如下。
代码实现
class Solution:
def divingBoard(self, shorter: int, longer: int, k: int) -> List[int]:
# 先处理特殊情况
if k == 0:
return []
if shorter == longer:
return [shorter * k]
# 一般的情况,longer > shorter,k > 0
# 先生成 k+1 长度的数组
ans = [0] * (k+1)
for x in range(k+1):
# 代入公式
ans[x] = shorter * (k - x) + longer * x
return ans
实现结果
总结
- 这道题可以看成是一道数学证明题,先处理特殊的情况:
- 当 k = 0 时,表示无法构造跳水板,那么返回空列表
[]
; - 当
shorter = longer
,木板相等,那么结果只有一个,返回[shorter * k]
。
- 当 k = 0 时,表示无法构造跳水板,那么返回空列表
- 排除特殊情况后,就一般情况,来证明跳水板可能的结果。
- 假设
shorter
木板有k-x
个,longer
木板有x
个(其中0<=x<=k
); - 那么跳水板的长度:
f(x)=shorter*(k-x) + longer*x
,对公式进行移项,可得:f(x)=shorter*k + (longer-shorter) * x
; - 在这里,可以看到
shorter,longer,k
都是常量,只有x
的值变化的,而且longer > shorter
,那么上面的式子就可以看出是单调递增的一元一次函数,而x
的取值落在[0, k]
,所以f(x)
的结果有k+1
种可能。
- 假设
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