LeetCode 面试题 16.11. 跳水板 | Python

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面试题 16.11. 跳水板


题目来源:力扣(LeetCode)https://leetcode-cn.com/problems/diving-board-lcci

题目


你正在使用一堆木板建造跳水板。有两种类型的木板,其中长度较短的木板长度为 shorter,长度较长的木板长度为 longer。你必须正好使用 k 块木板。编写一个方法,生成跳水板所有可能的长度。

返回的长度需要从小到大排列。

示例:

输入:
shorter = 1
longer = 2
k = 3
输出: {3,4,5,6}

提示:

  • 0 < shorter <= longer
  • 0 <= k <= 100000

解题思路


思路:数学

这道题用数学的方法去证明,找规律。先说一下特殊情况:

  • k = 0 的时候,这里表示可使用的木板为 0,那么也就无法建造跳水板,返回空列表 []
  • shorter == longer 时,那么表示木板长度相同,那么跳水板的长度只有一种可能,那就是 shorter * k

现在除开上面两种情况,也就是 longer > shorter, k > 0 的情况时,会有怎样的结论。

在这里,我们先将结论给出,然后再去证明。

结论: 跳水板所有长度的结果有 k+1 种,而且长度分别为:shorter * k + (longer-shorter) * x, 其中 0 <= x <= k

现在来证明如何得到这样的结论:

先假设 shorter 的木板有 k-x 个,longer 木板有 x 个。那么跳水板的长度则为:

技术图片

观察上面式子,我们知道 shorter, longer, k 这些都是常量。只有 x 才是变化的。因为 longer > shorter,那么 longer-shorter 一定是大于 0,那么上面的式子就可以看成单调递增的一元一次函数。

因为 x 的取值是落在 [0, k] 的(左闭右闭),那么 f(x) 的结果则有 k+1 种(x 从 0 取到 k)。

那么再结合最开始所述的两个特殊情况,将三者结合起来,就是本题的解。

根据结论,跳水板可能的组合结果如下图:

技术图片

具体的实现代码如下。

代码实现


class Solution:
    def divingBoard(self, shorter: int, longer: int, k: int) -> List[int]:
        # 先处理特殊情况
        if k == 0:
            return []
        if shorter == longer:
            return [shorter * k]
        
        # 一般的情况,longer > shorter,k > 0
        # 先生成 k+1 长度的数组
        ans = [0] * (k+1)

        for x in range(k+1):
            # 代入公式
            ans[x] = shorter * (k - x) + longer * x
        
        return ans

实现结果


技术图片

总结


  • 这道题可以看成是一道数学证明题,先处理特殊的情况:
    • 当 k = 0 时,表示无法构造跳水板,那么返回空列表 []
    • shorter = longer,木板相等,那么结果只有一个,返回 [shorter * k]
  • 排除特殊情况后,就一般情况,来证明跳水板可能的结果。
    • 假设 shorter 木板有 k-x 个,longer 木板有 x 个(其中 0<=x<=k);
    • 那么跳水板的长度:f(x)=shorter*(k-x) + longer*x,对公式进行移项,可得:f(x)=shorter*k + (longer-shorter) * x
    • 在这里,可以看到 shorter,longer,k 都是常量,只有 x 的值变化的,而且 longer > shorter,那么上面的式子就可以看出是单调递增的一元一次函数,而 x 的取值落在 [0, k],所以 f(x) 的结果有 k+1 种可能。

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