题解p2388 阶乘之乘

Posted 2020-12-16 -singercoder

原题传送门

题解一堆(O(n))算法真给我看傻了。

考虑(10=2*5)，因子2肯定更多，所以计算因子5的个数即可。

---

从5到n这(n-5+1)个数的阶乘里面，都各自含有一个因子(5=1*5)。

从10到n这(n-10+1)个数的阶乘里面，都各自含有一个因子(10=2*5)。

故因子5的总个数为((n-5+1)+(n-10+1)+...+(n \% 5+1))。

不难发现这是一个等差数列，首尾项如上，项数为(n/5)。

---

然而这样并不对，因为我们只考虑到了含有一个因子5的情况，但像(25=5*5)这样含有两个因子5的情况，我们还得重复计算。

因此，枚举我们要统计的因子i，并用上面等差数列的思想分别计算其个数，统计入答案即可。

---

值得注意的一点：由于前面在因子(i=5)的时候，我们已经将(25=5*5)中的一个因子5统计入答案。

因此当因子(i=25)的时候，只要统计剩余的一个因子5即可。

时间复杂度(O(logn))。

#include<cstdio>

#define ll long long

using namespace std;

int main()
{
//	freopen("in.in","r",stdin);
	int n;
	scanf("%d",&n);
	ll ans=0;
	for(int i=5;i<=n;i*=5)
		ans+=(ll)((n-i+1)+(n%i+1))*(n/i)/2;
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}