解题报告P1896 [SCOI2005]互不侵犯

Posted 2020-12-15 mudrobot

我闷今天的目的就是通过这道题初步理解一下状态压缩类动态规划

首先我们先来介绍一下定义，所谓状态压缩类动态规划，顾名思义，这是以集合信息为状态的特殊的动态规划问题。主要有传统集合动态规划和基于连通性状态压缩的动态规划两种。

因为某些动态规划的需求信息量非常的大，并且我们为每一个信息开一维数组这样的做法是非常不现实的，所以说我们的状态压缩类动态规划也就应运而生了！

预备知识

位操作是一种非常快的基本运算：有左移、右移、与、或、非等运算。

左移：左移一位相当于某数乘2.

右移：右移一位相当于某数除以2.

与运算：按位进行“与”运算，两数同一位都为1时结果为1，否则为0，例如：101&110=100。

或运算：按位进行“或”运算，两数同一位都为0时结果为0，否则为1，例如：101|110=111。

非运算：按位取反。0变1,1变0，例如：~101=010。

于是学会了上面这些操作，我们就可以干一些比较简单的事情了。

• 判断第i位是否为0，(S&(1<<i))==0,意思是将1左移i位与S进行与运算后，看结果是否为0.

• 将第i位设置为1，S|(1<<i),意思是将1左移i位与S进行或运算.

• 将第i位设置为0，S&~(1<<i),意思是S与第i位为0，其余位为1的数进行与运算。

例如：S=1010101,i=5.

S&(1<<i):1010101&0100000=0000000.

S|(1<<i):1010101|0100000=1110101.

S&~(1<<i):1010101&1011111=1010101.

这里在讲代码前我觉得还是有必要在科普一个知识，就是关于判断一个整数的二进制数里有几个1。这里我们需要用一个骚骚的操作。虽然我本人也没有看懂。

int func(unsigned int n){
  int count=0;
  while(n>0){
    n=n&(n-1);
    count++;
  }
  return count;
}

这里转载一段：

比如输入10，n-1=9，1010（10的二进制）&1001（9的二进制），得到一个1000（8的二进制），n=8，count++=1
第二次循环，n-1=7，8&7=0，count++=2；跳出循环，返回count，也就是说10的二进制里面有2个1。。。。

压行代码：

LL func(LL n){LL count=0;while(n>0){n=n&(n-1);count++;}return count;}

所以说大家应该也都懂了应该怎么写了！！！

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
LL avai[2000],gs[2000],cnt=0,n,yong,f[10][2000][100],ans;
LL func(LL n){LL count=0;while(n>0){n=n&(n-1);count++;}return count;}
bool check(LL i){return (i&(i>>1))==0&&(i&(i<<1))==0;}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&yong);
    for(LL i=0;i<(1<<n);++i)if(check(i))avai[++cnt]=i,gs[cnt]=func(i);//预处理所有的状态，avai记录的是状态，而ge记录的是当前状态所用的国王的个数 
    for(LL i=1;i<=cnt;i++)f[1][i][gs[i]]=1;//第一层的所有状态均是有1种情况的
    for(LL i=2;i<=n;i++)
		for(LL k=1;k<=cnt;k++)
			for(LL j=1;j<=cnt;j++){//枚举i、j、k,j,k在循环中没有特殊要求，反着写也可以 
        		if((avai[j]&avai[k])||((avai[j]<<1)&avai[k])||((avai[j]>>1)&avai[k]))continue;//排除不合法国王情况
        		for(LL s=yong;s>=gs[j];s--)f[i][j][s]+=f[i-1][k][s-gs[j]];
			}//枚举s，计算f[i][j][s]
	for(LL i=1;i<=cnt;i++)ans+=f[n][i][yong];
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}