学习记录：快速幂

Posted 2020-12-15 salty-fish

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• 学习记录 快速幂
  • 快速幂的递归实现
  • 非递归实现

学习记录 快速幂

快速幂的递归实现

假设要算(7^9)，如果采取普通计算，也就是(7*7*7*7*7*7*7*7*7)，共需要8次运算。

运用二分的思想，先算(7^4)，然后通过(7^4*7^4*7)来计算$7^9 $，这样就只需要(3+1+1=6)次计算，然而这样还不够彻底，(7^4)还可以通过分解成(7^2*7^2)的形式，这样递归下去，就得到了时间复杂度为(O(logn))的快速幂算法。

int Quickpow(int a,int n)
{
	if (n==0)
		return 1;
	else if (n%2==1)
		return Quickpow(a,n-1)*a;
	else{
		int temp=Quickpow(a,n/2);//必须先保存下来，否则会算两遍
		return temp*temp;
	}
}

做题的时候，幂的结果可能会非常大，需要对一个大数取余，这时将上面的函数改成long long，在运算的每一步都要取余，结果也要取余啊！改进代码如下：

const int MOD=1e9+7;
typedef long long ll;
ll Quickpow(ll a,ll n)
{
	if (n==0)
		return 1;
	else if (n%2==1)
		return Quickpow(a,n-1)*a%MOD;
	else{
		ll temp=Quickpow(a,n/2)%MOD;
		return temp*temp%MOD;
	}
}//可以过洛谷P1226，就是结果也必须取余

非递归实现

非递归实现主要用了二进制的思想。

在上面的递归实现中不难发现是每次都是将结果分割为两半，这正好对应了二进制。而且众所周知，位运算是比乘法运算快的，运用非递归实现因此比递归实现快一点。

还是(7^9)的例子，(9)的二进制形式为(1001)，意味着(7^{(1001)_2})可以拆分为(7^{(1000)_2}*7^{(1)_2})，以此类推，任何幂总可以拆分成(a^{2^b})相乘的形式，因此就有了思路。

1. 总体思路就是从二进制最后一位开始算起，如果在这一位的二进制数为1，则说明需要加上这一块；若是0则跳过。然后到下一位。不过在此用位运算的右移实现。
2. 计算(a^{2^b})，可以用底数自乘来实现，在每次运算中代表在这一位的(7^{2^{x}})是多少。
3. 判断二进制的情况，需要用一些位运算的基本知识。

非递归计算(7^9)的过程：

临时变量	指数情况（二进制）	目前的运算结果
7((7^{2^0 }))	1001	1*7=7
49((7^{2^1}))	0100	7
2401((7^{2^2}))	0010	7
5764801((7^{2^3}))	0001	7*5764801=40353607

代码实现：

int Quickpow(int a,int n)
{
	int res=1;
	while (n){			//最终右移的结果为0
		if (n&1)		//指数二进制末尾为1
			res*=a;		//乘以当前的底数
		a*=a;			//底数自乘
		n>>=1;			//指数右移一位
	}
	return res;
}