1049 Counting Ones

Posted 2020-12-15 ruruozhenhao

The task is simple: given any positive integer N, you are supposed to count the total number of 1‘s in the decimal form of the integers from 1 to N. For example, given N being 12, there are five 1‘s in 1, 10, 11, and 12.

Input Specification:

Each input file contains one test case which gives the positive N (≤).

Output Specification:

For each test case, print the number of 1‘s in one line.

Sample Input:

12

 

Sample Output:

5

 

题意：

　　给出一个数字n，问0~n这些数字中，‘1’出现的次数。

思路：

　　如果暴力求解的话，会有两组数据超时，这道题是一道数学题，可以归纳总结出公式来求解这道题。

　　从0~n这些数字中，‘1’出现的次数，我们可以通过计算每一位上出现‘1’的次数然后相加即可。具体的证明我没有推导，给出一个直观的例子：12——个位上为‘1’的所有可能：1， 11； 十位上为‘1’的所有可能：10， 11， 12； 这样我们就可以把‘11’这种出现两个‘1’的情况计算两次，从而满足要求。

　　以一个5位数字，百位的计算方法为例：12045， 12145， 12245；

　　12045——百位为‘0’，只要百位左边的数字比12小，且有‘1’出现都要考虑进去：00100~00199； 00200~00299； …… 11100~11199； 11000~11099；共有12 * 100 个数字满足要求。

　　12145——百位为‘1’，在原来百位为‘0’的基础上再加上 100 ~ 145 这46种不同的情况，共 12 * 100 + （45 + 1）个不同的数字。

　　12245——百位大于‘1’，我们只需要考虑高位就可以列全所有，00100 ~ 00199； 00200 ~ 00299； …… 12100 ~ 12199，共 （12 + 1） * 100 个不同的数字。

　　清楚了上面的基本原理之后，我们来推导计算公式：

　　

 

　　left = n / (a * 10);

　　right = n % a;

 

Code :

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int main() {
 6     int n;
 7     cin >> n;
 8     int now, left, right, a = 1, ans = 0;
 9     while (n / a) {
10         now = n / a % 10;
11         left = n / (a * 10);
12         right = n % a;
13         if (now == 0) {
14             ans += left * a;
15         } else if (now == 1) {
16             ans += left * a + (right + 1);
17         } else {
18             ans += (left + 1) * a;
19         }
20         a *= 10;
21     }
22     cout << ans << endl;
23     return 0;
24 }

 

参考：

　　https://blog.csdn.net/xyt8023y/article/details/46953935

　　https://blog.csdn.net/CV_Jason/article/details/85112495