树状数组的操作

Posted 2020-12-14 qianr

树状数组的一些基本操作。

树状数组支持单点修改和查询区间和的操作，但和线段树不同，它不支持区间修改操作（有些题目可以将区间修改转化为单点修改，有些则不可以）。下面介绍树状数组的预处理和基本操作。

1.求lowbit(n)

上一篇博客介绍了lowbit的定义和使用定义的基本求法。但是依据定义求lowbit未免麻烦。因而，求lowbit需要导入公式：lowbit(n)=n&(-n)。

求lowbit函数：

int lowbit(int n){//求n的lowbit 
    return n&(-n);
}

2.对某个元素进行加法操作

根据树状数组的性质，对于任意一个结点x，只有结点c[x]及其祖先结点保存的区间和中含a[x]，所以我们只需要对x不断向上搜索即可。

代码：

void update(int x,int y){//将x位置元素加上y 
    for(;x<=N;x+=lowbit(x){//依次寻找x的父节点 
        c[x]+=y;//进行更新 
    }
}

 

这里在寻找x的父节点时运用了上一篇博客中的性质③（具体的证明方法我也不会qwq）。

举例证明：

假设我们要对A[2]进行加x的操作。

2的lowbit值为2，则第一步2变成了4，对C[4]进行处理。4的lowbit值为4，则第二步变成了8，对C[8]进行处理。此时已到达循环边界。

再假设我们要对A[5]进行加x的操作。

5的lowbit值为1，则第一步5变成了6，对C[6]进行处理。6的lowbit值为2，则第二步变成了8，对C[8]进行处理。此时已到达循环边界。

3.查询前缀和操作

前缀和的求法：求出x的二进制表示中每个等于1的位，把[1,x]分成logN个小区间，而每个小区间的区间和已保存在数组c中。

代码（我也不会证）：

int sum(int x){//求1~x的区间和 
    int ans=0;
    for(;x;x-=lowbit(x);){
        ans+=c[x];
    }
    return ans;
}

举例证明：

假设我们要求A[6]的前缀和。

首先我们设答案为ans，将ans+=C[6]，则此时ans已包含A[5~6]的值。

接下来，因为6的lowbit值为2，所以x变为4，将ans+=C[4]，则此时ans已包含A[1~6]的值。

最后，因为4的lowbit值为4，所以x变为0，到达循环边界，退出循环。

4.统计A[X]~A[Y]的值

调用上面的sum函数，则A[X]~A[Y]=sum(y)-sum(x-1)。

以上是树状数组支持的4个基本操作。