The Nth Item斐波那契

Posted 2020-12-14 1024-xzx

题意：

给出递推式 (F)：

[F(0)=0,F(1)=1 ]

[F(n)=3*F(n-1)+2*F(n-2)(ngeq2) ]

给出查询次数：(Q) 和第一次查询的数 (N)，每次查询的答案为：(A_i=F(N))。并且(N_i=N_{i-1} xor A_{i-1}^2)，最后要求输出：(A_1 xor A_2 ... xor A_Q)。
题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/41355

分析：

(1) (N) 的范围很大，直接算肯定算不出来，但因为数据比较水，所以用 (map) 记忆化一下就可以。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int mod=998244353;
typedef long long ll;
unordered_map<ll,ll>mp;
struct matrix
{
    ll mat[3][3];
    void zero()
    {
        for(int i=1;i<=2;i++)
            for(int j=1;j<=2;j++)
                mat[i][j]=0;
    }
    void eye()
    {
        for(int i=1;i<=2;i++)
            mat[i][i]=1;
    }
    matrix operator * (const matrix &mt)const
    {
        matrix res;
        res.zero();
        for(int i=1;i<=2;i++)
        {
            for(int k=1;k<=2;k++)
            {
                if(mat[i][k])
                {
                    for(int j=1;j<=2;j++)
                        res.mat[i][j]=(res.mat[i][j]+mat[i][k]*mt.mat[k][j]%mod)%mod;
                }
            }
        }
        return res;
    }
};
matrix mpower(matrix m,ll b)
{
    matrix res;
    res.zero();
    res.eye();
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*m;
        m=m*m;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
void init(matrix &a)
{
    a.zero();
    a.mat[1][1]=1;
}
void init2(matrix &a)
{
    a.zero();
    a.mat[1][1]=3;
    a.mat[1][2]=1;
    a.mat[2][1]=2;
}
int main()
{
    ll a,ans=0,q,n;
    scanf("%lld%lld",&q,&n);
    matrix A,B,t;
    init(A);
    init2(B);
    while(q--)
    {
        if(mp.count(n))
            a=mp[n];
        else
            t=A*mpower(B,n-1);
        a=t.mat[1][1];
        mp[n]=a;
        n=n^(a*a);
        ans=ans^a;
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

(2)可以求出循环节求解
(3)斐波那契数列的通项公式：

[F(n)=frac{1}{sqrt{17}}(frac{3+sqrt{17}}{2})^n-frac{1}{sqrt{17}}(frac{3-sqrt{17}}{2})^n ]

(sqrt{17}) 在模 (p) 意义下等价于 (17) 模 (p) 的二次剩余，本题中这个值存在且是一个整数；但依然会多一个快速幂的 (log)，这里 (n) 可以用欧拉降幂降到 (2e9) 以内。
设 (N=sqrt{2e9}) ，(n=k*N+r)，有 (x^n=x^{k*N}*x^r)，注意到 (kleq N,rleq N)，预处理出最后的两部分就可以 (O(1)) 查询出 (F(n))。

参考博客