DP入门——迷宫行走方案2

Posted 2020-12-14 quanjun

题目描述

给你一个 (n) 行 (m) 列的二维迷宫，一开始你在迷宫的左上角的格子 ((1,1)) 处（我们用位置 ((x,y)) 来表示第 (x) 行第 (y) 列），你要走到右下角的格子 ((n,m)) 处 ，但是你是不能随便走的，
行走的方向是有规定的：每一步你只能往右移动一格，或者往下移动一个，并且你不能移动出迷宫的边界；
出了方向以外呢，我们还有另一个限制，在迷宫的每个格子里都有一个大写的英文字符 (c_{i,j}) （我们用 (c_{i,j}) 来表示格子 ((i,j)) 处的格子），对于两个格子 ((x1,y1)) 和 ((x2,y2)) ，如果 (c_{x1,y1} gt c_{x2,y2}) ，那么就算 ((x2,y2)) 是 ((x1,y1)) 右边的或者下边的格子，我们也不能从 ((x1,y1)) 移动到 ((x2,y2)) ，也就是说，你只能从一个ASCII较小的格子移动到它右边或上边那个ASCII较大的格子。
请问在这种限制下，你有多少种不同的移动方案。
说明：只要从起点到终点的移动路线不同，那么我们就说它们是不同的移动方案。比如：假设 (n = m = 2)，并且迷宫形状如样例输入一样的时候，从左上角 ((1,1)) 移动到右下角 ((2,2)) 共有(2) 种移动方案：

• ((1,1) Rightarrow (1,2) Rightarrow (2,2))
• ((1,1) Rightarrow (2,1) Rightarrow (2,2))

输入格式

输入一行包含两个整数 (n,m(1 le n,m le 10)) ，以空格分隔。
接下来n行每行包含一个长度为m的字符串，用于描述这个二维迷宫。

输出格式

输出包含一个整数，表示从 ((1,1)) 走到 ((n,m)) 的方案数。

样例输入

2 2
AB
CD

样例输出

2

本题涉及算法：动态规划。
本题和“迷宫行走方案1”类似，只不过多了一个限制。
我们设状态 (f[i][j]) 表示从 ((1,1)) 走到 ((i,j)) 的方案总数；
那么：

• 对于 ((1,1)) 来说，(f[1][1] = 1) ；
• 对于除了 ((1,1)) 以外的所有第 (1) 行的元素 ((1,i)) 来说，因为 ((1,i)) 只有可能是从 ((1,i-1)) 走过来的，所以:
  1. 当 (c_{1,i-1} lt c_{1,i}) 时，(f[1][i] = f[1][i-1]) ;
  2. 当 (c_{1,i-1} ge c_{1,i}) 时，(f[1][i] = 0)
• 对于除了 ((1,1)) 以外的所有第 (1) 列的元素 ((i,1)) 来说，因为 ((i,1)) 只有可能是从 ((i-1,1)) 走过来的，所以：
  1. 当 (c_{i-1,1} lt c_{i,1}) 时， (f[i][1] = f[i-1][1]) ;
  2. 当 (c_{i-1,1} ge c_{i,1}) 时， (f[i][1] = 0)
• 对于其他的所有点 ((i,j)) ，因为 ((i,j)) 只能从 ((i-1,j)) 和 ((i,j-1)) 两个点走过来，所以：
  1. 当 (c_{i-1,j} lt c_{i,j}) 并且 (c_{i,j-1} lt c_{i,j}) 时 (f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]) ；
  2. 当 (c_{i-1,j} lt c_{i,j}) 并且 (c_{i,j-1} ge c_{i,j}) 时 (f[i][j] = f[i-1][j]) ；
  3. 当 (c_{i-1,j} ge c_{i,j}) 并且 (c_{i,j-1} lt c_{i,j}) 时 (f[i][j] = f[i][j-1]) ；
  4. 当 (c_{i-1,j} ge c_{i,j}) 并且 (c_{i,j-1} ge c_{i,j}) 时 (f[i][j] = 0)

我们可以按照这个思路递推得到 (f[n][m]) 就是我们的答案。
实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 11;
int n, m, f[11][11];
char c[12][12];
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%s", c[i]+1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 1; j <= m; j ++) {
            if (i == 1 && j == 1) f[1][1] = 1;
            else f[i][j] =
                    ((c[i-1][j] < c[i][j]) ? f[i-1][j] : 0)
                +   ((c[i][j-1] < c[i][j]) ? f[i][j-1] : 0);
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

注意：这里有两个点要注意的。
注意点1是：我对 (c) 数组的输入，是保证所有的字符从 (c[1][1]) 到 (c[n][m]) 的；
注意点2是：我在计算 (f[i][j]) 的时候才用了两个三目运算符来代替了繁琐的判断。请好好领会老师的代码中所蕴含的简洁的哲学。