回溯法和动态规划的一般模板

Posted 2020-12-14 limancx

1.回溯法

回溯法的基础题目类型就是子集树和排列树，掌握最基础的模板，那么其它的题目都可以在此上变形得到，子集树即如下图所示：

 

 

 同一个元素不能被选入多次，子集树的算法模板为

 1 void Backtrack(int t) {     //t 表示当前是树的第t层，即对集合 S 中的第 t 个元素进行判断
 2     if (t > n)
 3         output(x);          //大于S中总的元素个数 ，遍历完成 
 4     else
 5         for (int i = 0; i < = l; i++) {     // 两种可能 加入或者不加入到解集合 
 6             x[t] = i;
 7             if (Constraint(t) && Bound(t)){     //满足约数条件  
 8                     Backtrack(t + 1);           //对 t+1 层进行判断 
 9                 } 
10         }
11 }

还有就是排列树，排列树即

 

 

 这种，即一个元素可以多次被选择，排列树的模板为

 1 void Backtrack(int t) {     //t 表示集合 S 的第 t 个元素 
 2     if (t > n)
 3         output(x);
 4     else
 5         for (int i = t; i <= n; i++) {      //第t 个元素与其后面的所有元素进行交换位置 
 6             swap(x[t], x[i]);
 7             if (constraint(t) && bound(t)){ 
 8                     backtrack(t + 1);
 9                 } 
10             swap(x[t], x[i]);
11         }
12 }

在回溯法的问题中，只要在这两种基础的模板上变形即可。

2.动态规划

动态规划问题相对来说有一点难度，这里可以帮助给出动态规划的一般思路：

首先确定问题符合动态规划问题的一般条件，即无后效性、最优子结构性质和重叠子问题性质。一般我们可以这样理解，如果你想构造一个一维或二维dp数组，如果当前要决策的变量dp[i]的值跟后面的决策无关(无后效性)，仅仅和前面的某个或者某几个dp[j](其中j为小于i的值)有关，且dp[j]也是之前第j个决策变量决策时的最优选择(最优子结构性质)，同时由决策dp[j]时的状态转移到dp[i]的状态的转移策略和dp[i]转移到dp[k](其中k大于i)的状态转移策略是相同的，那么这时候就适合用动态规划算法。

动态规划算法和贪心算法的不同之处在于，贪心算法往往只跟当前状态有关，而动态规划是不仅仅和当前状态有关，并且和之前的某些状态有关的。

当确定可以使用动态规划算法后，就要确定这个dp数组中每一个元素可能的取值，即可能有的决策方案或者状态值；

然后动态规划算法的最重要的就是提取状态转移方程，一个可以参考的做法是考虑某个决策变量/状态dp[i]和前面的哪些状态有关，即先找到dp[i]和dp[j]、dp[m]、dp[n]这些先前状态的位置，也即j、m、n可能的取值，然后要确定j，m，n怎么由i得到，比如j可能是i-1，m可能是i-2，n可能是i-dp[i-1]，此时已经确定dp[i]和哪些状态有关系了。接下来，就是确定怎么由dp[j]，dp[m]，dp[n]得到dp[i]，也就是状态转移方程，一般就是根据当时的状态dp[j]以及经过了几个阶段后的影响change[j]，然后求出每个有关的状态+影响，即dp[j]+change[j]，dp[m]+change[m]，以及dp[n]+change[n]多个取最优。

当对动态规划转移方程仍然不清晰时，可以手动采用表格法尝试一下模拟的过程。

动态规划的一般模板是

 1 int dynamicProgramming(int *state,int size)
 2 {
 3       int dp[size];
 4       dp[0] = initState;
 5       dp[1] = initState;
 6       for(int i = 2; i < size;++i)
 7       {
 8             int a = dp[i-1] + f(state[i],state[i-1] );
 9             int b = dp[i-2] + f(state[i],state[i-1] );
10             int c = dp[i-n] + f(state[i],state[i-n] );
11             dp[i] = best(a,b,c);
12       }
13       return dp[size-1];
14 }