题解 CF1370E Binary Subsequence Rotation

Posted 2020-12-14 wxy-max

题目大意

题目描述

给定两个长度为(n)的(01)串(a)和(b)，要求串(a)的任意子序列经过若干次“旋转”操作变为串(b)

对于一次“旋转操作”我们这样定义：
如果我们要旋转的序列为

(c_1,c_2,c_3,c_4,c_5...c_n)

那么旋转之后的序列为(c_n,c_1,c_2,c_3,c_4...c_{n-1})

例如对于(s=1110100)

如果我们旋转的子序列的下标为({2,6,7})（从(1)开始）

那么旋转之后的串为$1010110 $

求至少进行多少次“旋转”操作，能够把串(a)变成串(b)

输入格式

输入一共三行

第一行输入一个整数(n(1≤n≤10^6))
第二行输入串(a)

第三行输入串(b)

输出格式

输出为(1)行，为最小的操作次数

思路

首先，如果要求我们改变的次数最小，那么我们就只改变(a)与(b)中不相同的元素。

设集合(c)为(a)中与(b)中的元素不同的元素，并且对于每个元素其值等于(a)的值。

而对于(c)中的元素而言，每一对不同的(1)和(0)都可以进行一次“旋转”操作，我们可以看作其两个元素进行交换。

而若干个元素的“旋转”操作可以看作若干次“交换”操作

因此如果(c)当中的(1)和(0)的个数不同是一定不能将(a)变为串(b)

而现在，我们的目标为用尽量少的操作使得(c)中的元素全部取反（即(1)变成(0)，(0)变成(1)）

那么我们每次进行旋转操作的序列一定是形如(010101)或(101010)这样的序列（必须为偶数位）

如果我们进行旋转操作的序列为形如(111000)这样的序列，那么就等价于我们进行三次(10)这样的旋转操作

那么我们要使得进行的操作次数尽量少，即每次使得我们选的子序列尽量的长

那么我们每进行一次操作就会使得和最大的子段的和减一，即每进行一次操作都能使得(max(sum_{i=l}^rleft | c_i ight |))减一

证明：

假设子段([l,r])的和为正数，那么子段两边的元素一定是(-1)，否则(sum_{i=l}^rleft | c_i ight |)可以更大。

同理(c[l])与(c[r])必然是(1)，否则缩小区间范围，一定可以更大。

设该子段中一共有(k)个(1)，长度为(m)，那么该子段的(-1)的个数为(m-k)。

那么在该子段外至少有(2 imes k -m)个(-1)

对于其中的(-1)，我们至多(m-k)次就可以将所有的(-1)变(1)（即所有的(-1)全都挨在一起的情况）

而对于每次操作，我们选择的(1)的个数比(-1)的个数多一定更优

因为我们当前子段的和是最大的，且为正，因此(1)的个数必然比(-1)的个数多

考虑反证

如果我们选的(-1)比(1)多的话，那么在当前子段至多选

(2 imes m-2 imes k-1)个元素

如果我们(1)的个数比(-1)的个数多，那么当前子段至多选

(2 imes m-2 imes k+1)个元素

而对于外面的元素，如果排序方式改变最多损失两个元素

因此至少不会变坏，且会更优

如果我们(-1)选(p)个，那么(1)必然会选(p+1)个

那么，其减少了(1)

如果到最后的序列不存在(-1)，那么每次我们至少可以从当前序列中选出一个(1)取反，因为在该子段外至少有(2 imes k -m)个(-1)

因此，每次操作我们都可以使得(max(sum_{i=l}^rleft | c_i ight |))减一

并且，因为其和最大，所以能够确保每次操作，都能够作用于当前子段

那么，当(max(sum_{i=l}^rleft | c_i ight |))减为(0)时，即最小操作次数。

答案即为(max(sum_{i=l}^rleft | c_i ight |))

(QED)

而我们可以用下面代码(O(n))的求出上述式子

#include <iostream>
 
using namespace std;
 
const int maxn = 1e6 + 10;
 
char a[maxn],b[maxn];
 
int c[maxn],n;
 
 
int get(int x){
	int cur = 0,res = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++){
		cur += x * c[i];
		res = max(res,cur);
		if (cur < 0) cur = 0;
	}
	return res;
}
 
int main(){
	cin >> n >> a >> b;
	int s0 = 0,s1 = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++){
		if (a[i] != b[i] && a[i] == ‘1‘){ 
			c[i] = 1;
			s1++;
		}
		if (a[i] != b[i] && a[i] == ‘0‘){ 
			c[i] = -1;
			s0++;
		}
	}
	if (s1 != s0){
		cout << -1;
		//system("PAUSE");
		return 0;
	}
	cout << max(get(1),get(-1));
	//system("PAUSE");
	return 0;
}