最小生成树（Krukal & Prim）

Posted 2020-12-14 z8875

• Kruskal
• Prim

例题

• luogu P3366 【模板】最小生成树

• 以下代码均可A此题

kruskal

• Kruskal算法通过并差集维护，从到小枚举每条边，如果两端点不在一个集合，将两端点所在集合合并，并将边权累加到答案中

• 时间复杂度为(O(m log m))

• 评测记录

  • code

    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    const int N = 5005, M = 2e5+5;
    struct side {
        int x, y, d;
    }e[M];
    bool operator < (side a, side b) {
        return a.d < b.d;
    }
    int n, m, f[N], ans, cnt;
    int found(int x) {
        return x == f[x] ? x : (f[x] = found(f[x]));
    }
    void kruskal() {
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            int x = found(e[i].x), y = found(e[i].y);
            if (x == y) continue;
            f[x] = y;
            ans += e[i].d;
            if (++cnt == n-1) return;//最小生成树上最多n-1条边
        }
    }
    int main() {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            scanf("%d%d%d", &e[i].x, &e[i].y, &e[i].d);
        sort(e + 1, e + m + 1);//排序
        for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = i;//并查集初始化
        kruskal();
        if (cnt == n-1) printf("%d
    ", ans);
        else puts("orn");//奇奇怪怪的输出，其实他没有这个测试点
        return 0;
    }
    

prim

• Prim算法思想类似于Dijkatra。
  维护一个数组 d[x] 节点 x 与已确定是最小生成树集合中的节点之间权值最小的边的权值
  每次从未标记的节点中选出 d 值最小的点，将其标记，在更新其他点的 d 值

• 时间复杂度为(O(n^2)),使用堆优化可以到(O(mlogn))（这里写的是堆优化后的板子） 但是这样不如Kruskal方便，
  因此，Prim主要用于稠密图，尤其是完全图的求解

• 评测记录

  • code

    #include <queue>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    using namespace std;
    const int N = 5005, M = 2e5+5;
    struct side{
        int t, d, next;
    }e[M<<1];
    int head[N], tot;
    void add(int x, int y, int z) {
        e[++tot].next = head[x];
        head[x] = tot;
        e[tot].t = y;
        e[tot].d = z;
    }
    priority_queue< pair<int, int> > q;
    int n, m, d[N], ans, cnt;
    bool v[N];
    void prim() {
        memset(d, 0x3f, sizeof(d));
        q.push(make_pair(d[1] = 0, 1));
        while (!q.empty() && cnt < n) {
            int x, w;
            x = q.top().second;
            w = -q.top().first;
            q.pop();
            if (v[x]) continue;
            v[x] = 1;
            ans += w;
            cnt++;
            for (int i = head[x]; i; i = e[i].next) {
                int y = e[i].t;
                if (d[y] > e[i].d) {
                    d[y] = e[i].d;
                    q.push(make_pair(-d[y], y));
                }
            }
        }
    }
    int main() {
        scanf("%d%d", &n, &m);
        while (m--) {
            int x, y, z;
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
            add(x, y, z); add(y, x, z);
        }
        prim();
        if (cnt == n) printf("%d
    ", ans);
        else puts("orn");
        return 0;
    }