蓝桥杯 三行代码解决 “全排列的价值”(2022省赛pythonA组)

Posted 2023-02-23 BkbK-

三行代码解决 “全排列的价值”(2022省赛pythonA组)

置顶代码：

from math import factorial
n = int(input())
print(factorial(n) *(n-1)*n//4 % 998244353)

一、试题 G: 全排列的价值

【问题描述】

对于一个排列 $A=(a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n)$，定义价值 $c_i$ 为 $a_1$ 至 $a_i-1$ 中小于 $a_i$ 的数的个数，即 $c_i=|a_j|j<i,a_j<a_i|$。定义 A 的价值为 ${\sum }_{i=1}^n{c}_i$。给定 $n$，求 1 至 $n$ 的全排列中所有排列的价值之和。

【输入格式】

输入一行包含一个整数 n 。

【输出格式】

输出一行包含一个整数表示答案，由于所有排列的价值之和可能很大，请输出这个数除以 998244353 的余数。

【样例】

• 【样例输入 1】

  3

• 【样例输出 1】

  9

• 【样例输入 2】

  2022

• 【样例输出 2】

  593300958

【样例说明】

1 至 3 构成的所有排列的价值如下:

• (1, 2, 3) : 0 + 1 + 2 = 3 ；
• (1, 3, 2) : 0 + 1 + 1 = 2 ；
• (2, 1, 3) : 0 + 0 + 2 = 2 ；
• (2, 3, 1) : 0 + 1 + 0 = 1 ；
• (3, 1, 2) : 0 + 0 + 1 = 1 ；
• (3, 2, 1) : 0 + 0 + 0 = 0 ；

故总和为 3 + 2 + 2 + 1 + 1 = 9。

二、Python 代码

from math import factorial
n = int(input())
print(factorial(n) *(n-1)*n//4 % 998244353)

三、题解

本质上是利用递推公式求每种排列的顺序对（相对逆序对而言）的数量。
1 ~ n构成的全排列，可以通过插入n+1来构成1 ~ n+1 的全排列。而插入一个比原先排列中的数都大的数时，增加顺序对的个数只和插入位置相关。

例如：
1、2构成的全排列可以通过插入3，构成1、2、3构成的全排列。

（1，2）： = 1

• （3，1，2）= 1+0 = 1
• （1，3，2）= 1+1 = 2
• （1，2，3）= 1+2 = 3

（2，1）：= 0

• （3，2，1）= 0+0 = 0
• （2，3，1）= 0+1 = 1
• （2，1，3）= 0+2 = 2

$P^n$ ：表示 1 ~ n 全排列的价值
$N(n)$：表示 1 ~ n 全排列的数量

同理 1 ~ n-1 的全排列中插入 n，每个排列有n个插入位置（0 ~ n-1），每个插入位置带来的价值和下标相同。计算 1 ~ n全排列的价值时，其构成主要是两部分：原有排列的价值：$P^{n-1}$产生的、新插入n+1后新产生的价值。
$P^{n-1}$被重复计算n遍，原有价值 = $P^{n-1}\times n$
对于1 ~ n-1 的全排列中每个排列，插入n后会产生${\sum }_{i=0}^{n-1}i$的价值，新产生的价值 = $N(n-1)\times {\sum }_{i=0}^{n-1}i=(n-1)!\times (\frac{n(n-1)}{2})=n!\times (n-1)/2$

递推得到$P^n=n!\times (n-1)n/4$