四维DP之方格取数

Posted 2020-12-14 soda-ma

题目描述

传送门
设有N*N的方格图(N<=20,我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。如下图所示(见样例)：

某人从图的左上角的A(1,1) 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B(n,n)点。在走过的路上（包括起点在内），他可以取走方格中的数(取走后的方格中将变为数字0)。此人从A点到B 点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入格式

输入的第一行为一个整数N(表示N*N的方格图)
接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。

输出格式

只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和

样例

样例输入

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

样例输出

67

思路

这道题乍一看真的很能唬人，两遍？？能取到的最大解？第一反应是贪心，求一遍最优解，然后再跑一遍，但是很容易证明这个贪心是错误的，我们可以把两遍看成两个人在同时走，那么我们维护四维数组f[i][j][k][l],代表第一个人走到了i，j的位置，第二个人走到了k，l的位置，所取到的最优解，那么有两种情况
1.两个人到达了同一位置，f[i][j][k][l]=max(f[i-1][j][k-1][l]+a[i][j],max(f[i][j-1][k][l-1]+a[i][j],max(f[i-1][j][k][l-1]+a[i][j],f[i][j-1][k-1][l]+a[i][j])));
2.两个人未到达同一位置f[i][j][k][l]=max(f[i-1][j][k-1][l]+a[i][j]+a[k][l],max(f[i][j-1][k][l-1]+a[i][j]+a[k][l],max(f[i-1][j][k][l-1]+a[i][j]+a[k][l],f[i][j-1][k-1][l]+a[i][j]+a[k][l])));
这样问题就解决了。

附上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=20+5;
int f[maxn][maxn][maxn][maxn];
int n,x,y,w;
int a[maxn][maxn];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	while(1){
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
		if(x==0)break;
		a[x][y]=w;
	}
	f[1][1][1][1]=a[1][1];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=1;k<=n;k++){
				for(int l=1;l<=n;l++){
					if(i==k&&j==l)f[i][j][k][l]=max(f[i-1][j][k-1][l]+a[i][j],max(f[i][j-1][k][l-1]+a[i][j],max(f[i-1][j][k][l-1]+a[i][j],f[i][j-1][k-1][l]+a[i][j])));
					else f[i][j][k][l]=max(f[i-1][j][k-1][l]+a[i][j]+a[k][l],max(f[i][j-1][k][l-1]+a[i][j]+a[k][l],max(f[i-1][j][k][l-1]+a[i][j]+a[k][l],f[i][j-1][k-1][l]+a[i][j]+a[k][l])));
				}
			}
		}
	}
	cout<<f[n][n][n][n];
}