正数和负数的原码反码补码及二进制位运算

Posted 2020-12-14 passzhang

位运算符

位：二进制简称“位”，是二进制计数系统中表示小于 2 的整数符号，一般用 1 或 0 表示，是具有相等概率的两种状态中的一种。二进制的位数可表示一个机器字的字长，一个二进制位包含的信息量称为 1 bit。（摘自百度百科）

位运算符用来对二进制位进行操作，Java中提供了如下所示的位运算符（操作数只能为整型和字符型数据）：
& 按位与
| 按位或
^ 按位异或
~ 按位取反
除 ～ 以外，其余均为二元运算符。

一个字节 = 8bit（位）
一个 int 类型的数值占 32bit（位）

二进制换算示例
int i = 123;
10 进制 123 转为二进制后等于：1111011

完整补位后：
00000000 00000000 00000000 01111011

tips：全文使用的二进制为 32 位。

原码、反码和补码

二进制的最高位为符号位，1 表示负数，0 表示整数，其余位表示数的绝对值。

123 转为二进制补齐后为：00000000 00000000 00000000 01111011，这是 123 的原码。

负数 -123 的原码：100000000 00000000 00000000 01111011。

其中首位是符号位，0代表正数，1代表负数。

反码：正数的反码和原码相同，负数的反码是保留其符号位不变，其他位取反，（0 变 1，1 变 0）。

补码：正数的补码和原码相同，负数的补码为原码除符号位外取反 +1。

注意：整数在计算机中，是以补码的形式存储的。

正数对比

123 的原码：00000000 00000000 00000000 01111011

123 的反码：00000000 00000000 00000000 01111011

123 的补码：00000000 00000000 00000000 01111011

负数对比

-123 的原码：10000000 00000000 00000000 01111011

-123 的反码：11111111 11111111 11111111 10000100

-123 的补码：11111111 11111111 11111111 10000101

已知补码求原码

最高位如果是 1 的话（负数），那么除了最高位之外的取反，然后加 1 得到原码。
最高位如果是 0 的话（正数）， 不变，正数的补码就是它的原码。
在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外，补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。（摘自百度百科）

打个比方：2-1是怎么计算的？

二进制计算规则采用11得1,10得1，00得0 逢2进1

计算公式：2-1=2+(-1);

2 的补码：00000010

-1 的补码：11111111

-1 的原码：10000010
-1 的反码：11111101

结果 0 00000001，最高位溢出（0）丢弃， 2-1 = 1。

关于原码、反码和补码的详细解释，可看这篇：

https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html

为何要使用原码, 反码和补码

在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

补码的加减法运算

本文内容参考自王达老师的《深入理解计算机网络》一书<中国水利水电出版社>

一、补码加法:
1、补码的加法运算
两个机器数相加的补码可以先通过分别对两个机器数求补码，然后再相加得到，在采用补码形式表示时，进行加法运算可以把符号位和数值位一起进行运算(若符号位有进位，导致了益出，则直接舍弃)，结果为两数之和的补码形式。
示例1：求两个十进制数的和 35+18。
首先，规定字长是8位，也就是只能用8位二进制表示。
35的原码：00100011。
18的原码：00010010。
因为35和18都是正数，所以补码和原码完全一致。
35的补码：00100011。
18的补码：00010010。
因为补码是可以连同符号位一起运算，所以运算法则等同于无符号二进制运算：

 00100011---35二进制表示
 00010010---18二进制表示
 00110101-----转换成10进制是53。结果正确！

示例2：求两个十进制数的和 35+(-18)。
同示例1一样，只能用8位表示。
35的原码：00100011。
-18的原码：10010010。
因为35是正数，补码与原码完全一致，但是-18是负数，补码需要转换。
35的补码：00100011。
-18的补码：由原码除符号位外取反，再在最低位+1，得到结果是11101110。这时都是补码，运算规则等同于无符号二进制加法。

   00100011
   11101110
  100010001---因为前面规定了字长是8位，这里出现了9位，
  所以最高位舍弃，舍弃后，结果为00010001，
  转换成十进制是：17。结果正确！(超出字长部分直接舍弃)

二、补码减法:
1、补码的减法运算
减法实际上就是加一个负数。运算法则和加法实际上是一致的！
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