ac自动姬

Posted 2020-12-13 ticmis

字符串 ac自动姬

前言

省选临近，不能再颓了！ 说着开始研究起moonlight串流。真香

本期博客之所以在csdn上发了一份，因为没有图床！如果有图床我一定会自力更生的！

好像和字符串没有毛关系

总之，为了备考省选，特地温习了一下ac自动姬

介绍

ac自动姬是一种多模匹配算法。说的直白一点，就是kmp的升级版，同时进行多个kmp。

说是多个kmp，其实它更多的借鉴的是kmp的思想，而不是算法。不会kmp可能可以理解ac自动姬，就像是不会加法也有可能理解乘法（多个加法）；但是像线段树和树链剖分就有着严格的先后顺序，不可能在没有掌握线段树时就能理解树链剖分。

注：

1. trie树为必备知识，不懂trie树的童鞋请先学习trie树！(●ˇ?ˇ●)
2. kmp为非必备，学习完kmp再学习ac自动姬会更加深刻的理解

理论中的理论部分

对于多模匹配，我们肯定需要将模式串存储下来。怎么存？trie树呗

我们以一下模式串作为例子：

test

testt

est

好了，用trie树，我们把所有的模式串存了下来。

存完模式串，我们就开始匹配。随着主串的不断匹配，我们可以将匹配结果归纳如下：

1. 假如当前匹配节点存在通向下一个节点的边，那么就转移

2. 否则就是找不到下一个节点，那么就要按照失配来处理

这时就需要引入一种概念，“失配指针”。

什么是失配指针？失配指针就是当前点失配后，转移到的另外一个节点。（不太好理解，接着看下去）参照kmp理解一下失配指针

对象	kmp	ac自动姬
失配指针	最长公共前后缀的坐标	trie树深度最深的合法坐标

还是不好理解？我们先把上述例子中的失配指针构建出来

照着图接着分析分析

参照kmp单模匹配。在kmp中，相当于只有左侧((root Rightarrow t Rightarrow e Rightarrow s Rightarrow t))的这一条链。我们不断的找“最长公共前后缀”，是为了最大化利用我们已经匹配过的部分。

我们之所以要找“公共前后缀”，就是为了使得下一次匹配的对象是合法的。后缀与前缀重合，说明这段后缀可能作为下一个匹配的前缀被利用

而我们之所以要找“最长”的那一个，就是为了最大化的利用这个信息。假如当前公共前后缀存在不同的两个，且(l_1<l_2)。那么(l_1)长度的串一定包含在(l_2)长度的串中。如果(l_2)再次失配，它可以跳到(l_1)上，但是(l_1)失配，它却无法跳到(l_2)上

提供样例：ababa

“aba”与“a”分别是两个公共前后缀

“a”包含在“aba”中

好了，情况扩展到了ac自动姬多模匹配上。在多模匹配上就相当于提供了更多的可能来实现“最长公共前后缀”，一定要在保证“公共前后缀”的基础上尽可能“最长”，这样才能不浪费已经匹配出来的信息

理论中的代码部分

好了，基础的理论有了，我们就要开始实现。

回顾算法，主要难点分为两部分：构建fail指针和匹配

构建fail指针

显然，我们在构建一个某一个节点的fail指针时，一定要事先求出来了所有深度小于这个节点的fail指针。换言之所有的fail只和深度小于这个点的节点有关联。

所有深度一致的先搜出来，保证深度按递增顺序搜出来...BFS!! 不难发现BFS就可以完美满足所有上述要求

我们取奔波最远的一个指针作为例子

在这个例子中，紫色的c为了获得fail指针，一共移动了两次

第一次：从c的父节点的fail指针开始寻找，发现第一个"b"下面并没有"c"，接着转移

第二次：转移到了第二个b，发现这次，b下面接了一个c,那么就为这个c找到了失配指针

否则，假如到头了仍然没有找到，就将fail指针设为root即可

代码：

void getfail(){
    //单独处理根节点
    fail[root]=-1;
    queue <int> line; line.push(root);
    while(!line.empty()){
        int u=line.front(); line.pop();
        for(int i=0;i<=25;++i){
            if(ch[u][i]){  //假如u节点后面跟着i节点
                line.push(ch[u][i]);
                int tmp=fail[u];
                //如果一下就到头了
                if(tmp==-1){
                    fail[ch[u][i]]=root;	
                }
                //否则尝试匹配
                else{
                    while(tmp!=root&&!ch[tmp][i]{
                        tmp=fail[tmp];
                    }
                    if(tmp!=root||ch[tmp][i]){
                        fail[ch[u][i]]=ch[tmp][i];
                    }
                    else{
                        fail[ch[u][i]]=root;
                        last[ch[u][i]]=root;	
                    }
                }
            }	
        }	
    }
}

匹配

好了，fail指针也构建完了，就可以开始匹配了

1. 假如当前匹配节点存在通向下一个节点的边，那么就转移

2. 否则就是找不到下一个节点，那么就要按照失配来处理

(搬过来~~)

我们知道怎么转移之后还有一个重要的问题：怎么统计？

从一个节点，通过fail指针遍历到的字串一定是该串的一个后缀，而鬼知道哪一个字串会被模式串匹配上，所以统计一定是随匹配转移时刻进行的。

而且，fail指针的转移的过程中，一定会遍历到所有被当前串包含的公共前后缀。因此可以保证正确性。

由于建trie树的时候记录了以某一点结尾的权值，故沿途加上所有权值即可。

代码如下：

void kmp(string a){
    //转移部分
    int len=a.size();
    int u=root;
    for(int i=0;i<len;++i){
        int v=a[i]-‘a‘;
        while(u!=root&&!ch[u][v]){
            u=fail[u];	
        }
        if(u!=root||ch[u][v]) u=ch[u][v];
        else u=root;
        
        //统计部分
        int tmp=u;
        while(tmp!=root){
            rec[type[tmp]]+=dot[tmp];
            tmp=last[tmp];	
        }
    }
}

last优化

在转移过程中，会遇到很多权值为0（模式串中不包含），但fail指针却跳到了，导致fail指针要大量跳过一些对答案没有用的节点。

last优化就是要想法设法避免这件事。由于权值为0的fail指针是毫无意义的，那么就设last指针必定跳向一个权值不为0的指针

假如（fail指针所指向的点，其权值大于零）
    last指针就是fail指针
否则
    last指针就是fail指针指向的点的last指针

简单的实现：

last[u]=dot[fail[u]]?fail[u]:last[fail[u]];

总结

至此，ac自动姬已经从理论到代码都有了完整的实现一举，参考代码如下：

该代码记录的是

struct trie{
    static const int MAX=3e5+6;
    int cnt,tot,root;
    int ch[MAX][26],fail[MAX],last[MAX],dot[MAX];
    
    void clean(){
        cnt=0; tot=0; root=0;
        memset(ch,0,sizeof(ch));
        memset(fail,0,sizeof(fail));
        memset(last,0,sizeof(last));
        memset(dot,0,sizeof(dot));
    }
    
    void insert(string a){
        tot++;
        int len=a.size();
        int u=root;
        for(int i=0;i<len;++i){
            int v=a[i]-‘a‘;
            if(!ch[u][v]){
                ch[u][v]=++cnt;	
            }
            u=ch[u][v];
        }
        dot[u]++; type[u]=tot;
    }
    
    void getfail(){
        fail[root]=-1; last[root]=-1;
        queue <int> line; line.push(root);
        while(!line.empty()){
            int u=line.front(); line.pop();
            for(int i=0;i<=25;++i){
                if(ch[u][i]){
                    line.push(ch[u][i]);
                    int tmp=fail[u];
                    if(tmp==-1){
                        fail[ch[u][i]]=root;
                        last[ch[u][i]]=root;	
                    }
                    else{
                        while(tmp!=root&&!ch[tmp][i]){
                            tmp=fail[tmp];
                        }
                        if(tmp!=root||ch[tmp][i]){
                            fail[ch[u][i]]=ch[tmp][i];
                            last[ch[u][i]]=dot[fail[ch[u][i]]]?fail[ch[u][i]]:last[fail[ch[u][i]]];
                        }
                        else{
                            fail[ch[u][i]]=root;
                            last[ch[u][i]]=root;	
                        }
                    }
                }	
            }	
        }
    }
    
    int kmp(string a){
        int len=a.size(),ans=0;
        int u=root;
        for(int i=0;i<len;++i){
            int v=a[i]-‘a‘;
            while(u!=root&&!ch[u][v]){
                u=fail[u];	
            }
            if(u!=root||ch[u][v]) u=ch[u][v];
            else u=root;
            
            int tmp=u;
            while(tmp!=root){
                ans+=dot[tmp]; dot[tmp]=0;
                tmp=last[tmp];	
            }
        }
        return ans;
    }
    
    void print(int u){
        printf("%d %d
",u,fail[u]);
        for(int i=0;i<=25;++i){
            if(ch[u][i]) print(ch[u][i]);	
        }
    }
}tree;

后记

深夜里又打了6e3个字..（＞人＜；）

希望通过这篇博客，能为自己和所有看到的人提供一点思路(′▽`???)