康拓展开

Posted 2020-12-13 ticmis

数论 康拓展开

前言

额，好像鸽了太久了。为了找回手感，不管是什么先写一点

简介

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

——摘自百度百科

虽然解释得比较规范，但也比较容易理解

康拓展开就是对全排列排序，以此解决空间过大的问题

朴素算法

现在我们面对着这样一个问题：在特定情境下，我们需要为全排列数赋值，那我们怎么处理？

一种做法就是直接用Long Long存，但缺点显而易见：空间招架不住

另外一种做法是用map存。说实话我不知道有什么太大的问题，貌似是可以的。不过STL这种东西，能不用就不用 真香

康托展开

先上公式：

定义：

(a[x]=位置x后的数字中，小于位置x上数字的个数)

公式:

(f=sum_{i=1}^{n} a[i]*(n-i)!)

公式比较抽象，但胜在美观嘛

怎么去理解呢？我们用34152这个例子来理解

1. 观察第一位"3"：当第一位是"1","2"时，全排列数肯定比该数要小；当第一位时"3"时，排名先后位置；当第一位是"4","5"时：全排列数肯定比该数要大。那么a[1]=2;
2. 观察第二位"4":接着上一次的结果继续讨论，由于首位是"3"未知的，所以首位确定为"3"。此时，如果第二位如果是"1","2"，则排列数肯定比原数要小；如果是"4"，则未知；如果是"5",则肯定大，因此a[2]=2
3. 继续讨论下去，相同道理

结果:
(f=2*4!+2*3!+0*2!+1*1!+0*0!=61)

康托逆展开

顾名思义，康托展开解决的是用全排列数到排名，那么康托逆展开就用排名还原出全排列数

思考一下康托展开是怎么实现的，它有点类似于一个特殊进制数，每(n)位的意义是(n!)，那么只要除回去即可

依旧以34152为例，康托值为61

1. 用 61 / 4! = 2余13，说明 ,说明比首位小的数有2个，所以首位为3。
2. 用 13 / 3! = 2余1，说明 ，说明在第二位之后小于第二位的数有2个，所以第二位为4。
3. 用 1 / 2! = 0余1，说明 ，说明在第三位之后没有小于第三位的数，所以第三位为1。
4. 用 1 / 1! = 1余0，说明 ，说明在第二位之后小于第四位的数有1个，所以第四位为5。

还原出来34152

事实上，做题过程中，还是康托展开用的多，康托逆展开实际用处并不是很大

代码

code:

思路简单，代码易写，懒得复制粘贴ˋ( ° ▽、° )